Base de R3

[Stevenson123]

Bonjour,

J'aimerai savoir si mon raisonnement est bon quant à la question suivante :

On considère dans les vecteurs = , = , = . Montrer que (,,) est une base de .

Ma réponse :

Premièrement je vérifie que la famille (,,) est une famille libre :















Je peux donc dire que la famille (,,) est une famille libre.

Je vérifie ensuite si cette famille libre est génératrice :

v =







ensuite je fais :





donc là j'ai un doute sur mon bilan, j'ai bien prouvé que a, b et c existent donc je peux dire que cette famille est génératrice, libre et donc pas conséquent qu'elle est une base de .


Merci de m'avoir lu et dites moi si ma démarche est bonne.

[capitaine nuggets]

Salut !

Ici, il suffit juste de montrer que ta famille est libre car tu as l'équivalence suivante : soit E un espace vectoriel de dimension finie ; une famille de dim(E) vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice si et seulement si c'est une base.

[Stevenson123]

Je vois. Donc il me suffirait juste de montrer que cette famille est génératrice. Mais pourtant on doit bien prouver que les trois vecteurs ne sont pas indépendants linéairement ?

[aviateur]

Bonjour
Je me mêle de la discussion. Je suppose que tu commences dans l'algèbre linéaire. Donc la façon de répondre dépend des connaissances que l'on a et alors tu verras au fur et à mesure de tes connaissances que tu répondra à cette question différemment . Le th énoncé par Captain Nuggets est très connu donc tu démontres que soit la famille est libre, soit génératrice (bien sûr si tu connais ce th).
Mais si tu ne connais pas ce théorème tu démontres que ta famille est libre et génératrice. Du moins c'est comme ça que je vois les choses.

[Stevenson123]

Donc une réponse plus clair serait :

Selon le théorème, si la famille (,,) est une base de si elle est génératrice, ou libre.

Ensuite je démontre qu'elle est soit libre, soit génératrice mais démontrer les deux est donc inutiles si j'ai bien comprit ? Une seule démonstration (génératrice ou libre) est suffisant ?

Au niveau de la démarche peut-être est-il plus simple d'utiliser la matrice augmentée des trois vecteurs, et de faire le pivot de Gauss pour vérifier l'indépendance linéaire et de voir si on obtient :



auquel cas la famille est libre et forme une base.

[pascal16]

il y a plein de manière en dimension 3.

le déterminant de la matrice

ou avec le calcul :



le produit vectoriel donne un vecteur normal au plan, et le 3 ieme vecteur est dans le plan si le produit scalaire avec le vecteur normal est nul, indépendant sinon. Si v1 et v2 sont liés, le produit vectoriel est nul.

[capitaine nuggets]

Je vois. Donc il me suffirait juste de montrer que cette famille est génératrice. Mais pourtant on doit bien prouver que les trois vecteurs ne sont pas indépendants linéairement ?

Il vaut mieux montrer qu'elle est libre : c'est souvent plus simple que génératrice. Après comme je l'ai dit, et si tu l'as déjà vu, si tu cherches à montrer qu'une famille de vecteurs de est une base alors : est libre ssi est génératrice ssi est une base. En particulier, tu as : est libre ssi est une base.

Attention à ce qu'il y ait autant de vecteurs que la dimension de ton espace vectoriel, sinon c'est faux.

[Mimosa]

Bonjour

Je me mêle aussi de cette histoire. Pour un débutant qui ne connait pas la notion de dimension, le plus simple à mon avis est de résoudre le système qui sert à prouver que c'est générateur en faisant attention et en soulignant le fait qu'il y a une solution unique, ce qui prouve la liberté.