Base de R^n

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit n un entier supérieur ou égal à 3.

Soit (e1 ,...,en) une base de R^n alors je voulais justifier que A=Vect(e1,e2) est un sous espace vectoriel de R^n et une base de R^n.

Comment montrer que A est non vide ?
La stabilité par + et x c'est trivial.

Aussi il est évident que (e1,e2) forment une famille libre. Mais pour montrer que c'est une famille génératrice je sais jamais comment faire.

[vejitoblue]

tu veux dire (e1,e2) base de R² nan
ensuite e1+e2 est dans A

pour montrer que la famille F=(e1,e2) est génératrice tu prends n'importe quel vecteur de R² et tu l'exprimes comme combinaison linéaire des vecteurs de F

explicites tout car rien n' a l'air trivial (et explicite A aussi)

[mehdi-128]

Ah en effet :

(e1,...,en) est la base canonique de R^n.

Donc :

En effet e1 + e2 est dans A.

Soit x un vecteur de :

J'ai exprimé n'importe quel vecteur de R^2 comme combinaison de e1 et e2 donc c'est une famille génératrice de R^2 ?

[vejitoblue]

c'est ça

[Pseuda]

Dès qu'on écrit A=Vect(e1,e2), c'est que A est un espace vectoriel généré par e1 et e2 (c'est contenu dans la déf. de Vect(...)).

Dès qu'on a dit que (e1,.... en) est une base, c'est que (e1, e2) forme une famille libre.

Donc (e1,e2) est une base de A.

[mehdi-128]

Dès qu'on écrit A=Vect(e1,e2), c'est que A est un espace vectoriel généré par e1 et e2 (c'est contenu dans la déf. de Vect(...)).

Dès qu'on a dit que (e1,.... en) est une base, c'est que (e1, e2) forme une famille libre.

Donc (e1,e2) est une base de A.

Oui vous avez raison en effet Vect est par définition un sous espace vectoriel ...

je suis d'accord que (e1,e2) est une famille libre car (e1,...,en) est une base mais si on est pas dans la base canonique comment montrer que (e1,e2) est une base ?

[vejitoblue]

de la même manière que tu montres que la base canonique (e1,e2) est une base: libre et génératrice.

[mehdi-128]

Si (e1,e2) est une base quelconque inconnue, comment montrer que c'est une famille génératrice de R^2 ?

Je sais juste que (e1,e2) forme une famille libre.

Soit (x1,x2) un vecteur de R^2 comment exprimer ce vecteur en fonction de e1 et e2 ?

[Pseuda]

Bonjour mehdi,

Si (e1,e2) est une base quelconque, cad une famille libre qui engendre Vect{e1,e2}, alors ce n'est pas forcément une base de R^2 (au sens où tu dois l'entendre je présume : ensemble des vecteurs (x,y,0)).

Par exemple dans R^3, les vecteurs (1,2,3) et (1,2,4) forment une famille libre qui n'engendre pas R^2 (par exemple le vecteur (1,1,0)).

Mais R^2 (=ensemble des vecteurs (x,y)) n'est pas un ss-ev de R^3.

[mehdi-128]

Comment montrer que les vecteurs (1,2,3) et (1,2,4) n'engendrent pas R^2 ?

Comment montrer que R^2 n'est pas un sous espace vectoriel de R^3 ?

[vejitoblue]

si (124) et (123) n' engendrent pas R² c'est qu'il existe un element de R² qui ne s'écrit pas comme combinaison linéaire de (123) et (124)(l'exemple de pseuda ci-dessus)

F est un ssev de R^3 si c'est une partie non vide de R^3 stable par addition et multiplication par un scalaire.

[Pseuda]

Stricto senso, R^2 n'est pas un sous-ensemble de R^3. Il faut identifier R^2 (l'ensemble des couples (x,y) avec x et y réels) à l'ensemble des 3-uplets (x,y,0) pour en faire un sous-espace vectoriel de R^3.

[mehdi-128]

Stricto senso, R^2 n'est pas un sous-ensemble de R^3. Il faut identifier R^2 (l'ensemble des couples (x,y) avec x et y réels) à l'ensemble des 3-uplets (x,y,0) pour en faire un sous-espace vectoriel de R^3.

Ah c'est cette nuance que j'avais pas saisi !

Je me disais bien que pour (x,y,0) ça marche.

Merci pour vos réponses.