Base de polynome

[mehdibj]

Bonsoir , j'ai un petit problème avec un exercice d algèbre voila : On me donne { n appartenant a N} avec deg( et on me demande de montrer que cette famille est génératrice de K[x]
Est ce rigoureux de prendre Q dans K[X] et de montrer qu il existe une sous famille de { ,n appartenant a N} qui est génératrice de [X] ?

[Elias]

Salut,
C'est pas très bien formulé.
Donc tu considères une famille (fixée) de polynômes à coefficients dans un corps K telle que pour tout n, on ait et tu souhaites montrer que la famille est une famille génératrice de espace des polynômes à coefficients dans

Je pense que ton idée est bonne.

Tu prends et tu notes son degré.
On considère la famillequi est une famille de polynômes de espace des polynômes de degré inférieur ou égal à r.
Cette famille est libre (montre le, c'est classique, ça provient du fait que les polynômes ont des degrés deux à deux distincts), c'est donc une base de (dû à son nombre d'éléments)

Je te laisse conclure.

[Ben314]

Salut,
Juste une petite remarque : on peut procéder comme le dit Trident et ça fait utiliser de jolis résultats d'algèbre linéaire, mais on peut aussi procéder de façon directe en montrant, par récurrence sur le degré de Q, que tout polynôme Q est combinaison linéaire des Pn : Si d°(Q)=k, comme d°(Pk)=k, il existe un scalaire lambda tel que Q-lambda.Pk est de degré <k (avec lambda=coeff_dominant_de_Q/coeff_dominant_de_Pk).

C'est évidement moins joli, mais ça donne un algo. "concon" pour trouver les coordonnées de Q dans la base (Pn).