Base orthonormale corrdonnées de vecteurs

[Rana Viridis]

Bonjour, pourriez-vous m'aider à avancer dans cet exercice s'il vous plaît ?
Déterminer les cordonnées des vecteurs u et v, tels que :
-vecteur u soit colinéaire à vecteur U (−1; 3)
-u et v constituent une base orthonormale

J'ai trouvé les coordonnées de u (-1k;3k) et comme norme de u est 1, on a (-1k)²+(3k)²=1, donc k=1/(sqrt10),
d'où vecteur u ((1/sqrt10);(3/sqrt10)).
Je sais que u.v=0, si on nomme x' et y' les coordonnées de v on a (-1/sqrt10)x'+(3/sqrt10)y'=0.
On sait aussi que norme de v est 1, donc (x')²+(y')²=1.
Voici où je n'arrive plus à continuer.

[siger]

bonsoir

tu as trouvé (u.v=0) :
y' = x'/3
et
y'² + x'² = 1
d'ou x' et y'
.........

[Rana Viridis]

x'²=1-(y')²=1-(x'/3)² mais je ne sais pas quoi faire ensuite

[annick]

Bonjour,

tu connais y' en fonction de x' et tu sais que y'² + x'² = 1
Il te suffit de remplacer y' par ce que tu as trouvé en fonction de x' dans la deuxième équation et tu pourras ainsi connaître la valeur de x'², donc de x'. Tu pourras ensuite en déduire la valeur de y' en utilisant la première équation.

[Rana Viridis]

J'ai trouvé (10x'²)/9=1, en appliquant le produit en croix cela donne 10x'²=9/10, donc x'=3/sqrt10

[Rana Viridis]

J'ai remplacé dans la première équation, cela donne y'=1/sqrt10. Est-ce la bonne réponse ?

[annick]

Oui, tes réponses sont justes.
Bonne fin de soirée à toi.

[Lostounet]

Bonsoir,
Cette méthode est un cas particulier du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

On complète U par un vecteur (qui ne lui est pas colinéaire) et qui existe par le théorème de la base incomplète. Puis on utilise le procédé d'orthonormalisation: on normalise U (vecteur u) puis on soustrait à V sa projection selon u.

Mais ici le plus simple est de le faire de manière classique en résolvant un petit système comme déjà fait. Mais si on voulait faire ce travail dans R^3 ce serait beaucoup plus pénible, d'où l'intérêt du procédé.

[Pseuda]

Bonjour,

Tu peux le faire très simplement en prenant V tel que U.V=0, soit par exemple V(3,1), puis en prenant la base (U/||U||, V/||V||) qui est orthonormale.