Base de matrice

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Marcet003
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Base de matrice

par Marcet003 » 10 Juin 2024, 18:53

Bonjour,

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D'habitude je passe par le polynome caractéristique mais là il n'a aucune racine évidente.

Je peux trouver la forme bilinéaire associée à cette forme quadratique mais j'ai pas l'impression que ça me mène qq part. Auriez vous une autre piste ?

Merci d'avance,...



GaBuZoMeu
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Re: Base de matrice

par GaBuZoMeu » 11 Juin 2024, 11:11

Bonjour,
Je te suggère de passer par la décomposition en carrés de Gauss.
Ton titre "Base de matrice" ne conrrespond pas au contenu de l'exercice.

Marcet003
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Re: Base de matrice

par Marcet003 » 11 Juin 2024, 12:09

Je ne vois pas très bien comment retrouver ma base orthonormée à partir de ma forme quadratique obtenue avec Gauss.
Ce que j'ai fais, c'est rechercher par tâtonnement 2 vecteurs orthogonaux pour A et déterminer un troisième vecteur orthogonal par rapport aux 2 autres. En vérifiant l'indépendance linéaire des 3 vecteurs, une fois normalisés pour A, ces vecteurs forment une base de Sylvester et la signature en découle très facilement.

Si tu es encore motivé, j'ai ce problème où je ne vois pas comment chercher efficacement ma matrice unitaire U. Le polynome char. de A ne possède qu'une seule valeure propre évidente.
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GaBuZoMeu
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Re: Base de matrice

par GaBuZoMeu » 11 Juin 2024, 16:48

Pourquoi parles-tu de base orthonormée ?
Il n'est nulle part question de base orthonormé dans l'énoncé.
On te demande la signature de la forme quadratique et une base orthogonale pour celle-ci.
Base de Sylvester, je n'ai jamais vu employer cette expression, je suppose que ça veut dire base dans laquelle la matrice de la forme quadratique est diagonale avec des , des et des dans la diagonale ? Ça s'obtient alors immédiatement à partir d'une base orthogonale.
La décomposition en carrés de Gauss est le moyen standard d'obtenir tout ça. La famille des formes linéaires apparaissant dans la composition, éventuellement complétée pour obtenir une base de l'espace dual, est la base duale d'une base orthogonale de l'espace. Et tu sais bien comment la décomposition de Gauss donne la signature, n'est-ce pas ?

 

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