Base de Hamel

[Judoboy]

J'ai une démonstration dans mon cours de l'existence d'une base pour tout espace vectoriel E.

Si j'ai bien compris en dimension infinie on prend une famille libre (Xk), k appartenant à K, on l'identifie à son image car k différent de k' => Xk différent de Xk', on définit un ordre sur les images des familles libres (l'inclusion).

Pour cet ordre on a un ensemble inductif et le lemme de Zorn nous donne l'existence d'un élément maximal dans ces images de famille, donc "correspondant" à une base (cette correspondance n'est pas très claire car non bijective mais ça doit pouvoir se bricoler, enfin il faut faire avec parce que c'est tout ce que j'ai dans la démonstration).

En fait ce qui me pose un énorme problème c'est qu'à aucun moment on ne nous dit ce qu'est K. Comment peut-on combler ce vide ?

[ev85]

En fait ce qui me pose un énorme problème c'est qu'à aucun moment on ne nous dit ce qu'est K. Comment peut-on combler ce vide ?

K est un ensemble d'indices. Tu ne peux pas savoir à priori. Par exemple pour trouver une base du corps des fractions rationnelles sur K n'est pas complètement évident.
Bref, on s'en fiche.

Une base est une famille libre maximale. Maximale pour quoi ? pour l'inclusion...l'inclusion de quoi ? Ben des familles libres, sauf qu'une famille est une application, donc il faut prendre l'image des familles. OK comme ça, ça va.

Donc tu prends un gros ensemble d'indices pour avoir la paix. Qu'est-ce qu'on peut avoir de plus gros comme ensemble d'indices ? Ben l'espace vectoriel lui-même. Avec ça tu as la paix. Tu peux prendre comme ensembles d'indices des sous-ensembles de ton espace vectoriel.

Comme ça tu es rassuré ?

amicalement,

e.v.

[Judoboy]

Haha, j'étais justement en train de me dire à l'instant qu'on pouvait indexer par l'espace vectoriel tout entier, ça rentrerait forcément. C'est le fait qu'ils balancent "K" sans dire ce que c'est qui m'a gêné.

Enfin merci pour ta réponse :)