Base d'un espace vectoriel + Question sur les matrices

[Florix]

Bonjour,

J'ai plusieurs petites questions sur mon court ! Les réponses sont simples je pense mais je les trouve pas explicitement, j'ai quelques idées pour répondre mais je voudrais etre sur de moi !

[CENTER]Première question : [/CENTER]

J'ai un espace vectoriel d'équation caractéristique 2x - y - 2z = 0 . Je trouve donc E = vect { (1,2,0) , (0,-2,1) } avec le calcul y = 2x - 2z .

La correction fait avec deux autres vecteurs, jusque la pas de problème : elle est faite à partir de z = x - (1/2)y . Sauf que moi je trouve x (1,0,1) + y (0,1, -(1/2) ) et la correction marque E = vect { (1,0,1) , (0,2,-1) }

Ma question est : en quel honneur a t'on le droit de multiplier les coefficients par 2 ? Et pourquoi a t'on le droit de le faire que sur un seul vecteur quand la base est caractérisé par deux vecteurs ?


[CENTER]Deuxième question : [/CENTER]

On a une matrice 3 lignes 3 colonnes associé à l'endomorphise u. Apres calcul, on trouve : rg (u) = 1 . Mon prof marque alors

" Conclusion : dim Im u = 2 , dim Ker u = 1 donc u n'est pas bijectif"

Alors je comprends le u n'est pas bijectif (car u ne se limite pas au vecteur nul) mais je comprends pas dim Im et dim ker

[CENTER]Troisième question : [/CENTER]

Pourquoi si 0 est valeur propre d'une matrice associé à l'endomorphisme u alors u est un automorphisme ?

[CENTER]Quatrième question : [/CENTER]

C'est peut etre la meme que la question 2 car on utilise la formule du rang.
On a une matrice 3 colonnes 3 lignes, donc de dim 3, après l'avoir rendu diagonalisable on trouve les deux valeurs propres V1 = 2 et V2 = 6
On cherche ensuite à déterminer dim E2, la dimension de l'espace vectoriel propre associé à la valeur propre V1=2 .

On fait rg ( A - V2 IdE) = rg (A - 2IdE) = 1 (après calculs). Et là pourquoi peut-on conclure dim E2 = 2 ???


Voilà ! Merci d'avance pour vos réponses

Florix

[Mike_51]

je trouve plusieurs trucs bizarre dans tes questions. Dans la 2°) tu dis rg(u)=1 donc dimImu=2, ce qui est normalement faux. Et dans la 3°) Si un endomorphisme à 0 comme valeur propre, alors il existe x non nul tel que u(x)=0*x=0, donc Keru n'est pas réduit à 0, donc u n'est pas injective, donc je vois pas pourquoi ca serait un automorphisme.

[Florix]

Ah mais en fait j'en sais rien moi lol c'est pour ça que je pose les questions !!!

Je vois pas trop ce que je peux ajouter. Y'a surement des fautes parce que je maitrise pas toujours les appelations !

[yos]

1) un espace vectoriel est stable par addition et multiplication par un scalaire. Donc : oui! on a le droit de multiplier les coefficients par 2.
2) Incohérent : le rang de u, c'est la dimension de Imu. C'est bijectif lorsque le rang est 3.
3) Faux : si 0 est valeur propre, alors ker u est de dimension au moins 1, donc ce n'est pas un automorphisme.
4) L'espace propre associé à la valeur propre 2 est ker(u-2IdE) et sa dimension est 3-rg(u-2IdE) d'après le théorème du rang appliqué à u-2IdE.

[mathelot]

Réponse 1:
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il est équivalent de dire
(u1,u2) est une base ou (u1,2*u2) est une base

Réponse 2:
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Pour tout endomorphisme u défini sur E,
Ker(u) et Im(u) sont deux sous-espaces
vectoriels de E supplémentaires.

Réponse 3:
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l'énoncé exact est sans doute:
si u est un endomorphisme d'un e.v E,
si E est de dimension finie,
si 0 n'EST PAS valeur propre,
alors u est un automorphisme de E.

en effet,
0 n'est pas valeur propre entraine que
u est injective, donc bijective en dimension finie.

Réponse 4:
----------
comme il est dit que la matrice est diagonalisable
les sous espaces propres E1 et E2 sont supplémentaires
E1 et E2 sont des plans ou des droites vectoriel(le)s.
l'un est de dimension 1 et l'autre de dimension 2
car la somme de leurs dimensions vaut 3.
comme dim v1 = 1 , dim V2 = 2
V1 est donc une droite vectorielle et V2 un plan.

[yos]

Réponse 2:
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Pour tout endomorphisme u défini sur E,
Ker(u) et Im(u) sont deux sous-espaces
vectoriels de E supplémentaires.

Ben non, c'est faux!

[mathelot]

ah oui, désolé.

[Florix]

C'est clair ! J'ai bien compris maintenant !

Merci à vous de m'avoir eclairé ! :king2:

Florix