Base, espace et vecteurs linéairements indépendants

[c.m.c]

Bonjour, besoin d'un petit coup de main sur une démonstration, qui est peut etre simple, mais qui me pose problème.

Soit un espace E matérialisé par une base de N vecteurs (e1,e2,...,eN)

Soit N vecteurs de E (u1,u2,...,uN) linéairement indépendant.

Comment montrer que (u1,u2,...,uN) forment également une base de E.

Merci d'avance

[zork]

tu as montrer que la famille est libre
de plus dimE=card(U1,...,Un)
donc la famille {U1,...,Un} est une base

[SphinxDeLOblast]

Bonjour, besoin d'un petit coup de main sur une démonstration, qui est peut etre simple, mais qui me pose problème.

Soit un espace E matérialisé par une base de N vecteurs (e1,e2,...,eN)

Soit N vecteurs de E (u1,u2,...,uN) linéairement indépendant.

Comment montrer que (u1,u2,...,uN) forment également une base de E.

Merci d'avance

Qu'elle devrait être la valeur du determinant de la matrice qui retranscris tes vecteurs?

[c.m.c]

tu as montrer que la famille est libre
de plus dimE=card(U1,...,Un)
donc la famille {U1,...,Un} est une base

Merci pour ta réponse mais est ce que cela est suffissant.
Je sais qu'il appartiennent a E qu'il sont linéairement indépendant que dimE=card(U1,...,Un), mais cela prouve t'il qu'ils sont générateur de E?

[c.m.c]

Qu'elle devrait être la valeur du determinant de la matrice qui retranscris tes vecteurs?

Une valeur non nul normalement puisque c'est une base, mais je n'aimerais pas passer par les déterminant pour le montrer.

[zork]

c'est une propriété: une famille est une base ssi
la famille est libre et card=dim alors c'est une base
la famille est génératrice et card=dim alors c'est une base
la famille est libre et génératrice

[SphinxDeLOblast]

Merci pour ta réponse mais est ce que cela est suffissant.
Je sais qu'il appartiennent a E qu'il sont linéairement indépendant que dimE=card(U1,...,Un), mais cela prouve t'il qu'ils sont générateur de E?

Tu dit que dimE=card(U1,...,Un) en fait tu veut dire que E est un espace vectoriel de E^n alors c'est automatique puisque tu as n vecteurs lineairements independants mais sinon cela signifie que ton systeme de vecteurs est un sous espace vectoriel de E^n