Base duale

[sarah79]

Soit E un |K-espace vectoriel de dimensions finie n>=1 et une base B de E ={b1,....,bn}.
Pour tout w appartenant à E, on peut écrire :
w=s1b1+s2b2+...+snbn de manière unique avec s1,..sn des scalaires.

Les scalaires s1,..sn sont coordonnées de W dans la base B. On définit l'application i-ème coordonnée :
bi* : E-->|K
w--> si

Remarquer que w=b1*(w)b1+....+bn*(w)bn


On me demande de montrer que b1*,...bn* est une base de L(E,|K). Je ne vois pas comment faire?

[Heure]

Hi! C'est la base duale : applications coordonnées...tu montres qu'elle est génératrice et libre des formes linéaires de E.

[sarah79]

des formes linéaires de E?

Pour montrer que c'est libre je fais une combinaison linéaire de b1*, ...bn* (x1b1*(w)+...+xnbn*(w)=0) mais on trouve s1b1+...+snbn=0 et après comment fait on?
Les sclaires peuvent etre nul?

[Heure]

C'est bien ça, mais tu sais en plus que b1...bn est une base de E du coup..b1..bn est libre d'ou la nullité des s1..sn est la liberté de la famille:)

Aw je dis "tu" depuis tout à l'heure :s désolé:s je peux "te" tutoyer?^^

[sarah79]

tu peux me tutoyer c'est plus simple.
Donc la jai le principe pour montrer que c'est libre mais génératrice je fais comment?Et une fois que j'ai montré que c'est libre et génératrice c'est tout ou il faut montrer que c'est linéaire comme on cherche a savoir si c'est une base de L(E,|K)?

[sarah79]

y a un beug c'est pas s1b1+...snbn=0 qu'on trouve mais x1s1+...xns2n=0.
Je comprends vraiment pas comment monter que c'est libre. Les b1,...bn n'apparaissent pas en faite.

[Ben314]

Ne pas oublier que x1s1+...xnsn est une application linéaire de E dans R.
Elle est sencée être nulle, c'est à dire valoirs 0 en tout point de E.
Or, quelle est sa valeur au boint bi ?

[sarah79]

au point bi elle vaut si. Je comprends pas le lien.

b1*(w)=s1 mais s1 peut bien etre nulle non?
donc je ne vais pas arrivé a montrer que c'est libre.

[sarah79]

D'après ce que me dit Ben314, que en chaque point de E c'est nulle, est ce que cela signifie que si w=b1 on a : x1b1*(b1)=0 donc a1=0 c'est ça? Pouvez vous m'expliquez?