Bonsoir , je n'ai pas compris comment marche la base canonique d'une matrice Mmn(K) qui est (Eij) : c'est
(E11,E12,E13...,E1n,E21,..,Emn) ou
(E11,E21,E31,...,Em1,E12,...,Emn)
C'est d'abord les lignes ou d'abord les colonnes ?
Base canonique d'une matrice
13 messages
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par barbu23 » 17 Aoû 2007, 20:41
Salut "Percolaptor" :
_{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n} \in M_{n \times n}(IK) \hspace{10cm} : \hspace{10cm} (a_{ij})_{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n} \hspace{5cm} = \hspace{5cm} \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n} a_{ij}.E_{ij} $)
.
 ,+,.) $)
est un espace vectoriel de dimension : 
.
_{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n} $)
est la base canonique de .
par kazeriahm » 17 Aoû 2007, 23:51
l'ordre n'a pas d'importance puisque dans les deux cas tu as tous les vecteurs de la base
les deux familles que tu as écrites sont égales
les deux familles que tu as écrites sont égales
par fahr451 » 19 Aoû 2007, 11:50
kazeriahm a écrit:l'ordre n'a pas d'importance puisque dans les deux cas tu as tous les vecteurs de la base
les deux familles que tu as écrites sont égales
l'ordre a forcément une importance dans une famille;
les familles ne sont pas égales, ce sont deux bases qui peuvent prétendre toutes deux à être appelées canoniques, en général on prend plutôt la première (E11,...E1n,E21...) ( celle que donne barbu)
par ulmo » 21 Aoû 2007, 00:09
Salut,
Les deux bases que tu a écrit sont rigoureusement les mêmes. Cependant, l'ordre peut avoir une importance dans certaines situations. Par exemple, quand tu veux écrire une matrice dans cette base.
Exemple de manipulations de la base canonique :
Soit l'endomorphisme
défini par :
[CENTER] & \to & M_{n,p}(\mathbb{R})\\<br />M & \mapsto & MU<br />\end{align*})
[/CENTER]
En considèrant la base_{k \in [1,n]\\ l \in [1,p]})
de )
, on a :
[CENTER]\ =\ \displaystyle \sum_{1 \leq i,j \leq p}u_{i,j}E_{i,j} \qquad \in M_p(\mathbb{R}))
[/CENTER]
Et donc, pour
et 
quelconques mais fixés :
[CENTER]\ =\ E_{k,l}U\ \displaystyle =^{(1)}\ \sum_{1 \leq i,j \leq p}u_{i,j}E_{k,l}E_{i,j}\ =^{(2)}\ \sum_{1 \leq i,j \leq p}u_{i,j}\delta_{l,i}E_{k,j}\ =^{(3)}\ \sum_{1 \leq j \leq p}u_{l,j}E_{k,j})
[/CENTER]
Avec :
Et c'est là que l'ordre dans la base importe : on va écrire la matrice associée à.
Voila, en esperant que ca puisse aider ceux qui sont brouillés avec cette base...
Les deux bases que tu a écrit sont rigoureusement les mêmes. Cependant, l'ordre peut avoir une importance dans certaines situations. Par exemple, quand tu veux écrire une matrice dans cette base.
Exemple de manipulations de la base canonique :
Soit l'endomorphisme
[CENTER]
En considèrant la base
[CENTER]
Et donc, pour
[CENTER]
Avec :
- Attention a l'ordre ! En général,
et
ne commutent pas.
- On a pour tout indices,
. (Les "indices du milieux" vont dans un symbole de kronecker.)
- A cause du
,
reste fixé à
Et c'est là que l'ordre dans la base importe : on va écrire la matrice associée à
- D'après ce que l'on vient de calculer, si on prend la base ordonnée
, la matrice de
). Et donc son determinant sera le produit des determinants des blocs, soit
.
- En revanche, si on prend l'autre ordre pour la base, soit
, la matrice n'a rien de particulier et le determinant n'est pas du tout évident.
Voila, en esperant que ca puisse aider ceux qui sont brouillés avec cette base...
par fahr451 » 21 Aoû 2007, 00:22
ulmo a écrit:Salut,
Les deux bases que tu a écrit sont rigoureusement les mêmes. Voila, en esperant que ca puisse aider ceux qui sont brouillés avec cette base...
bonsoir
je dois être vraiment brouillé puisque les deux bases ne sont pas les mêmes
la base (i,j) serait elle la base (j,i) ? l'abscisse serait -elle l'ordonnée?
par ulmo » 21 Aoû 2007, 00:47
Bon, déjà lorsqu'on parle de , on considère des matrices à 
lignes et 
colonnes. (on ne parle pas d'abscisses ni d'ordonnées hein)
Ensuite, je pense qui ce t'induit en erreur est le double indexage et de l'ordre des indices. Et bien dans les matrices, et donc dans la base canonique, on a par convention :le premier indice est celui des lignes et le deuxième, celui des colonnes. C'est ce que notre prof de maths nous a rabaché toute l'année : peu importe le nom des éléments, c'est leur rôle qui compte
Ainsi, les bases
La question de l'ordre des éléments ne se pose généralement pas. En effet, la famille_{i \in [0,n]})
correspond naturellement à )
.
Mais lorsqu'on écrit_{i \in [1,n]\\ j \in [j,p]})
, le double indexage nous embête : l'orsqu'on parcours un tableau (la base), est ce qu'on le fait colonne par colonne ou ligne par ligne ?
La base reste la même, on change juste d'ordre d'énumération des éléments de la famille.
Est-ce mieux expliqué ainsi ?
Ensuite, je pense qui ce t'induit en erreur est le double indexage et de l'ordre des indices. Et bien dans les matrices, et donc dans la base canonique, on a par convention :le premier indice est celui des lignes et le deuxième, celui des colonnes. C'est ce que notre prof de maths nous a rabaché toute l'année : peu importe le nom des éléments, c'est leur rôle qui compte
Ainsi, les bases
La question de l'ordre des éléments ne se pose généralement pas. En effet, la famille
Mais lorsqu'on écrit
La base reste la même, on change juste d'ordre d'énumération des éléments de la famille.
Est-ce mieux expliqué ainsi ?
par fahr451 » 21 Aoû 2007, 00:52
nullement
une famille finie est une liste d'objets, un uplet
et dans une liste il y a un ordre
tu l'écris toi même dans quel ordre parcourt on le tableau (qui n'est pas lui une famille) suivant l'ordre on obtiendra telle ou telle famille qui seront TOUTES DIFFERENTES
rem : je suis familiarisé avec la notion d'indice muet depuis plusieurs décennies déjà...
une famille finie est une liste d'objets, un uplet
et dans une liste il y a un ordre
tu l'écris toi même dans quel ordre parcourt on le tableau (qui n'est pas lui une famille) suivant l'ordre on obtiendra telle ou telle famille qui seront TOUTES DIFFERENTES
rem : je suis familiarisé avec la notion d'indice muet depuis plusieurs décennies déjà...
par ulmo » 21 Aoû 2007, 01:24
Oula...
Premièrement, excuse moi, c'est moi qui, sur un ton moralisateur, me suis embrouillé. On se sent tellement idiot dans ces cas là ... Et en plus j'ai répondu à coté de la plaque. Non mais je vous jure... Ca devrais être interdit des personne comme ca sur ce forum!
Je pensais en effet que qu'une seule base pouvait être qualifiée de canonique, et donc que les 2 considérées étaient les mêmes. Mais je me rend compte helas trop tard de ma betise :p
L'ordre des vecteurs d'une base a en effet autant d'importance que l'ordre des coordonnées d'un vecteur puisque c'est le même ordre...
Bon bah, je m'excuse encore platement et je lirai mieux ce qui est demandé la prochaine fois ...
Premièrement, excuse moi, c'est moi qui, sur un ton moralisateur, me suis embrouillé. On se sent tellement idiot dans ces cas là ... Et en plus j'ai répondu à coté de la plaque. Non mais je vous jure... Ca devrais être interdit des personne comme ca sur ce forum!
Je pensais en effet que qu'une seule base pouvait être qualifiée de canonique, et donc que les 2 considérées étaient les mêmes. Mais je me rend compte helas trop tard de ma betise :p
L'ordre des vecteurs d'une base a en effet autant d'importance que l'ordre des coordonnées d'un vecteur puisque c'est le même ordre...
Bon bah, je m'excuse encore platement et je lirai mieux ce qui est demandé la prochaine fois ...
par fahr451 » 21 Aoû 2007, 09:42
Sylar a écrit:fahr451 est très intelligent :we: :ptdr:
des compliments ,dans ma trop longue vie je n'en ai pas eu tant que cela
alors prenons le comme un compliment (même si j'y perçois comme un brin d'ironie)
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