Barycentres

[antoine3617]

Bonjour,

Voici mon problème :
avec k réel.
On demande de déterminer en fonction de k, l'ensemble E des points M du plan tels que les 3 vecteurs soient colinéaires.
Voici ma démarche :
avec G1=bar((A,3),(B,2),(C,-1))
avec G2=bar((A,1),(B,-1),(C,2))
Pour k=-5 ;
J'ai donc dans ce cas un vecteur constant
Pour que ces 3 vecteurs soient colinéaires, il faut donc que M appartienne à [G1G2] et qu'est-ce que j'en fais du vecteur constant ?
Je ne vois pas trop comment conclure pour k=-5
Je verrai ensuite les autres cas.
Merci pour vos réponses.

[yos]

Ton vecteur constant est 3AB-5AC.
Soit il est colinéaire à G1G2 et dans ce cas les points M cherchés sont les points de la droite (G1G2).
Soit il l'est pas (ce que je crois car il me semble que 4G1G2=5AC-4AB, à moins que A,B,C soient alignés) et alors ton ensemble est vide.

[antoine3617]

merci

1) en fait le fait de dire le vecteur est constant permet de dire : pour tout point T du plan
w=2TA + 3TB + kTC
tu as pris T=A c'est bien cela ?

2) En effet, les 3 points sont distincts. Mais je ne vois d'où on tire 4G1G2=5AC-4AC

[antoine3617]

ok je vois tu as remplacé dans u et v par A (M=A) et en faisant une opération sur les vecteurs tu en déduit l'égalité

Je passe à la suite

[antoine3617]

on m'avait parlé du cas k=-3 mais je ne vois pas pourquoi.
Pouvez-vous m'en dire plus ?

[yos]

Tu dois avoir les trois barycentres alignés.

[antoine3617]

J'aurais tendance à dire que c'est le cas quand k est différent de -5 non ?
Dans ce cas, M appartient à (G1G2)=(G2G3)
??

[yos]

Non, ça ne marche que pour k=-3. Calcule les coordonnées de G1G2, puis celles de G2G3 en fonction de k et écrit la condition de colinéarité.

[antoine3617]

Bonjour,

De retour sur ce problème.
Je commence à comprendre en effet que lorsque je prends k=-3, G1G2 et G2G3 sont colinéaires donc les 3 barycentres sont alignés.
Par contre, c'est pas facile à rédiger :
Comment par exemple exprimer G2G3 sans prendre directement de valeur particulière pour k ?
Pour avoir par exemple 2G1G2 il faut faire v+w en prenant k=-3.

[antoine3617]

pour les autres cas, les trois barycentres sont non alignés et le point M appartient à G1G2, G2G3 et G1G3, c'est donc impossible sauf si G1=G2 par exemple. ça me semble étrange

[yos]

donc
Tu soustrais membre à membre la première et la troisième égalité.

[antoine3617]

c'est bon pour moi.
J'obtiens d'une part :
d'autre part :

donc en remplaçant k par -3, on trouve bien deux vecteurs colinéaires.
Il reste donc le dernier cas

[antoine3617]

Pour le dernier cas, (enfin je crois) pour k différent de -3 et -5 les 3 barycentres ne sont pas alignés. Donc comme on veut que M appartienne aux droites alors on n'a pas de solution car ces 3 barycentres sont distincts, j'aimerais avoir un avis là-dessus. Merci

[yos]

Oui c'est ça.

[antoine3617]

merci bien