Axe de symétrie d'une fonction

[yannylefou]

Bonjour voici un exercice que j'ai du faire en première année de prépa:
On considère la fonction
Après avoir déterminé son ensemble de définition montrer que la ccourbe représentative de possède un axe de symétrie qu'il faudra calculer.
Voici ce que j'ai fait :
Je commence par calculer le discriminant
peut s'écrire sous la forme


donc sur
et sur


donc quand et quand
le minimum de la fonction est atteint en
est définie sur

la fonction possède un axe de symétrie : la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point (-1;-4)
est ce que c'est suffisant? Je ne crois pas avoir montré que la fonction est symétrique je me suis contenté de la calculer. Mais comment je peux démontrer ceci?

[Mateo_13]

Bonjour yannylefou,

ton raisonnement est juste et l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées, pas des abscisses.

Pour démontrer cette symétrie, il faut prendre deux nombres symétriques par rapport à l'abscisse (-1) et démontrer qu'ils ont la même image par la fonction.

Cordialement,

[lyceen95]

Les calculs sont peut-être un peu longs.
Cette courbe est une parabole (je pense que c'est indispensable de glisser le mot parabole quelque part dans la réponse), d'axe vertical. Pour trouver l'axe de symétrie, on peut chercher le minimum( ou maximum).
On dérive donc la fonction f
f'(x) = 2x+2
f'(x) vaut 0 quand x vaut -1.
L'axe de symétrie est donc la droite d'équation x=-1

Et j'ajoute, cette droite est une droite verticale, parallèle à l'axe des ordonnées. (droite verticale, ce n'est pas un jargon très mathématique, ça ne doit pas apparaître sur la copie finale, mais, entre nous, je pense que ça dit bien ce que ça veut dire)

On peut même aller encore plus vite.
f(x) = x²+2x-3
On peut écrire f(x) différemment : f(x)=(x+1)² -4 ou f(x)+4=(x+1)²
Et là, avec les bons arguments (changement de repère), on conclue.

[yannylefou]

Ok merci beaucoup pour vos réponses rapides !!
(oui grosse maladresse de ma part j'ai dit parallèle a l'axe des abscisses je voulais bien dire ordonnées )
J'ai trouvé une méthode sympa qui me paraît correcte
J'ai pas bien compris ta deuxième méthode @lyceen95 mais bon voila ce que je mettrai sur ma copie finale :
f(x)=x²+2x-3
on cherche si la fonction f possède un axe de symétrie.
on cherche alors si f(a+h) = f(a-h) avec et x=a la droite d'équation de notre axe de symétrie de notre courbe représentant la fonction f.
prenons a=-1
cela revient a chercher si
f(-1+h)=f(-1-h)
(-1+h)²+2(-1+h)-3=(-1-h)²+2(-1-h)-3
on trouve après simplification : h^2-4=h^2-4
Notre courbe qui représente la fonction f admet bien un axe de symétrie de droite d'équation x=-1

[lyceen95]

Oui, mais il faut un peu dire comment tu as deviné que -1 conviendrait ... Là, on imagine que tu réponds -1,parce que quelqu'un t'a soufflé cette réponse.

[Mateo_13]

Je suis d'accord avec lyceen95 au sujet de -1,
et de plus,
au lieu de résoudre l'équation f(-1+h) = f(-1-h) et d'arriver à légalité 0 = 0,
je calculerais les deux membres séparément pour constater qu'ils sont bien égaux pour tout h réel.

[lyceen95]

Tu disais que tu ne comprenais pas ma 2ème méthode. En fait, c'est très proche de ce que tu fais dans ta dernière proposition.
Tu cherches un a , qui va vérifier f(a+h)=f(a-h) pour tout h. Et tu dis, essayons avec a=-1 ...
Je fais quasiment pareil, en réécrivant le polynome
f(x)=x²+2x-3 = (x+1)² -4
x+1, c'est x-(-1) On retrouve ton -1
Pourquoi avoir choisi x+1 et non x+2 ou x-3 ? Parce que le but, c'est d'arriver à un polynome avec uniquement des exposants pairs. Donc une fonction paire, donc une fonction avec un axe de symétrie vertical, l'axe des ordonnées dans ce nouveau repère.

Et x²+2x, c'est le début du développement de (x+1)² Donc le terme de degré impair va disparaître.