L'axe des x d'un produit de convolution discret

[Diego]

Bonjour,

J'ai une fonction f(x) qui possède 4 valeurs: f(x) = [2, 4 , 5, 7], par exemple. Si je fais le produit de convolution de f(x) avec elle même, j'obtient une nouvelle fonction g(x) = f(x)*f(x) = [4, 6, 36, 68, 81, 70, 49]. Jusque là, pas de problème. Cependant, dans mon problème la valeur des x n'est pas une suite constante. Ça pourrait être par exemple x = [0.1, 0.7, 3, 5.4]. Donc ma question est: quelles seraient les valeurs de x pour le produit de convolution g(x)? Y-a-t-il une relation de récurrence entre les valeurs de x de f(x) et les valeurs de x de g(x)?

Merci d'avance,

Diego

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop grand chose à ton truc.
Déjà, est ce que quand tu parle de produit de convolution, c'est bien de ça dont tu parle (cas discret je suppose) ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_convolution
Ensuite, je comprend pas trop ce que peut signifier f(x)=[2,4,5,7].
f c'est une fonction de quel ensemble dans quel ensemble ?
les nombres 2,4,5,7 ils représentent quoi par rapport à ces deux ensembles ?

EDIT :
A la limite, j'entrevois l'éventualité que ça signifie que f:Z->R (ou C) et que la notation f=[2,4,5,7] signifie que f(n)=2 , f(n+1)=4, f(n+2)=5 et f(n+3)=7 pour un certain n et f(m)=0 pour les autres entiers (vu la stabilité par translation des produits de convolution, on se fout un peu de la valeur de n).
Si c'est bien ça alors [2 ; 4 ; 5 ; 7]*[2 ; 4 ; 5 ; 7]=[4 ; 16 ; 36 ; 68 ; 81 ; 70 ; 49] (et pas 6)
et [0.1 ; 0.7 ; 3 ; 3.4]*[0.1 ; 0.7 ; 3 ; 3.4]=[0.01 ; 0.14 ; 1.09 ; 4.88 ; 13.76 ; 20.4 ; 11.56]

[Diego]

Salut Ben,

Oui, tu avais bien compris ce que je voulais dire. Désolé, je suis physicien et souvent on est pas rigoureux avec la notation..
Mon doute concernait le fait que le produit de convolution g(x) = f(x)*f(x) a un domaine plus grand que le domaine initial de la fonction f(x). Dans cet exemple aléatoire que j'ai donné, f(x) a 4 valeurs e g(x) a 4+4-1 = 7 valeurs. Dans ce cas, je ne savais pas calculer les valeurs de x de g(x) à partir des x de f(x). Donc si je comprend bien, il faut que je convolue aussi les valeurs des x de g(x), comme dans la figure en annexe?

Diego

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[Ben314]

Que le "domaine" (en math on parle plutôt de "support", mais on s'en fout) de f soit plus grand est on ne peut plus normal.
La définition mathématique de la convolué (discrète) de deux fonctions de Z->R à support fini (c'est à dire qui sont non nulle uniquement sur une partie finie de Z) c'est (où la somme ne contient en fait qu'un nombre fini de termes non nuls.
Donc, si f=[a,b,c] et g=[d,e,f,g] avec tes notation, c'est à dire si f(0)=a, f(1)=b, f(2)=c, g(0)=d , g(1)=e , g(2)=f , g(3)=g et que les autres f(m) et g(m) sont nuls alors :
- Pour n<0 car dans chaque produit au moins un des deux termes sera nul vu que soit m soit n-m sera <0.
- pour n=0 car tout les autres produits contiennent au moins un terme nul.
- pour n=1
- pour n=2
- pour n=3
- pour n=4
- pour n=5
- puis, pour n>5 car dans chaque produit au moins un des deux termes sera nul vu que soit m>2 soit n-m>3.
Bilan f*g=[ ad ; ae+bd ; af+be+cd ; ag+bf+ce ; bg+cf ; cg] "contient" 6 termes et si tu réfléchie un peu au "pourquoi", tu verra que le 6 en question, c'est 3+4-1 où 3 est la "taille" de f et 4 est la "taille" de g.

[Diego]

Oui, je suis d'accord sur la manière de calculer . Le problème dans mon cas c'est que la valeur de chaque n'est pas un entier, et de plus, la différence entre deux n'est pas constante, comme dans l'exemple que je t'ai donné dans le premier post. Autrement dit, je voulais juste savoir comment obtenir les (qui sont des réels) de .
Donc je n'aurai pas = ... ; = ... ; mais plutôt = ... ; = ... ; où et sont des réels. Est-ce un peu plus clair?

[Ben314]

Je comprend pas ce qui te fait dire que "les n ne sont pas entiers" : au niveau des notations, dans celle que tu emploie avec tes crochets, de toutes façons, les n, ils n'apparaissent pas, tu as uniquement les valeurs des f(n) qui apparaissent et eux peuvent bien être (quasiment) n'importe quoi, ça ne change rien au problème, non ?

Dans le post précédent où j'ai mis de lettres, qu'est ce que ça change dans les calculs que a,b,... soient des entiers ou pas ?
(et dans le premier post, je calculé ton deuxième produit de convolution avec exactement la même méthode que le premier.

[Diego]

Ok, revenons au premier exemple. On a Si, on aura Quelle serait la valeur des "?" pour chaque g?

[Ben314]

Ben justement, moi, c'est pas du tout comme ça que j'interprète tes fameux crochets (*)
Ton premier f(x) = [2, 4 , 5, 7], pour moi, il veut dire f(0)=2 ; f(1)=4 ; f(2)=5 et f(3)=7 et les autres f(m)=0 (**)
Et le deuxième g(x) = [0.1 , 0.7 , 3 , 5.4] il signifie que g(0)=0.1 ; g(1)=0.7 ; g(2)=3 et g(3)=5.4 et les autres g(m)=0.
Et le fait que les valeurs que prend la fonction g ne soient pas entière ne change absolument rien aux calculs.
Ce qui est important, c'est que ce soit des valeurs prises en des points entiers.
Bref, en reprenant les notations style Lycée avec les y=f(x), ce qui est important pour le produit de convolution, c'est de connaitre les valeurs de f en des x entiers (**), mais par contre que les y correspondant soient entier ou pas, on s'en tape.

Après, si tu donnait le contexte dans lequel tu as vu ta notation avec des crochet, ça permettrait surement de savoir de quoi il retourne réellement. Pour le moment, sans rien savoir, je ne peut évidement faire que des conjectures sur le sens de ces fameux crochets... (i.e. vu ce que tu semble faire comme calculs avec, ça me semble plausible que les crochets s'interprètent comme je le fait...)

(*) Et si c'est comme ça qu'on est sensé les interpréter, je vois franchment pas comment on pourrait faire des produit de convolutions avec...
(**) ou bien f(48)=2 ; f(49)=4 ; f(50)=5 et f(51)=7 : le "x de départ", pour faire des convolution, on s'en fout un peu, par contre il faut qu'ensuite les x montent de 1 en 1 voire même de epsilon en epsilon, pourvu que ce soit le même epsilon à chaque fois (mais ce que font les y, on en a rien à f...)

[Diego]

(**) ou bien f(48)=2 ; f(49)=4 ; f(50)=5 et f(51)=7 : le "x de départ", pour faire des convolution, on s'en fout un peu, par contre il faut qu'ensuite les x montent de 1 en 1 voire même de epsilon en epsilon, pourvu que ce soit le même epsilon à chaque fois (mais ce que font les y, on en a rien à f...)

Je pense avoir compris. Dans l'exemple au-dessus tu dis qu'il faut absolument que ça augmente de 1 en 1 ou avec le même epsilon. Dans mon exemple, au lieu d'avoir 48, 49, 50, 51, j'ai 0.1, 0.7, 3, 3.4. J'en conclus que je n'ai pas le droit de faire la convolution de f(x) avec f(x) car les "x" ne varient pas avec le même epsilon:

eps1 = 0.7 - 0.1 = 0.6
eps2 = 3 - 0.7 = 2.3
eps3 = 3.4 - 3 = 0.4.

C'est ça?