Autre résolution d'équations diophantiennes

[Clembou]

Bonjour à tous,

Voilà, dans une unité de maths de mon université, nous avions étudié les fractions continues. Mais, pour divers raisons, je n'ai pas assité aux deux derniers cours qui étaient des cours d'exercices. Alors j'ai vu quelques documents sur internet traitant des fractions continues mais là, je bloque sur un exercice à propos des fractions continues.

Voici ce qu'on me demande :
"A l'aide des fractions continues, résoudre dans l'équation :

Je ne sais vraiment pas par quoi commencer. J'ai pu faire l'algorithme d'Euclide ou calculer le développement décimal en fraction continue de , je n'aboutis à rien.
Quelqu'un aurait une idée de comment on peut résoudre ce genre d'exercices ?
Merci de votre aide...

[fahr451]

heu t es sûr de ton équation ? pas de carré?

car ça se résoud simplement
c 'est presque une relation de bézout
Relation de bezout :

12(-2) +5(5) = 1

donc 12(-2*13) +5(5*13) = 13 et une solution particulière ensuite x , y est sol ssi ( soustraire membre à membre et utiliser que 12 et5 sont premiers entre eux)

[Clembou]

Euh oui mais tu n'utilises même pas les fractions continues. En cherchant sur internet, j'ai trouvé la méthode :) Merci quand même ;)

[fahr451]

donne donc le lien car je ne vois pas en quoi les fractions continues donnent une méthode plus élémentaire

[Clembou]

Je n'ai pas trouvé l'url du document car il est maintenant sur mon disque dur mais je peux te dire la méthode...

On a par exemple à résoudre dans l'équation suivante :
[CENTER][/CENTER]
Transformons l'équation en : .
On cherche le développement en fraction continue de .



Donc :
On calcule alors l'avant-dernière réduite de



Or -5 est impaire donc on a :

On a alors

Donc les solutions dans sont :

[fahr451]

merci
on dirait du bezout qui ne veut pas dire son nom