Autre equation differentielle

[MathematicienPoche]

Bonjour et merci encore pour la derniere equation differentielle! J'en ai une autre que je n'arrive pas a resoudre:

y(lny - 2x)dx + (x + y)dy = 0

je vois bien qu'il y a la forme M + N mais ce nest pas une équation exacte, et la méthode M-N/N ne me donne pas de résultat. merci

[Nightmare]

Salut,

de tête, en posant y=exp(t) on simplifie déjà bien l'équadiff. Je crois même qu'on a une forme différentielle exacte.

[Pythales]

Cherche un facteur intégrant de la forme

[MathematicienPoche]

d'accord, mais si je prend y = e^t alors j'ai:

e^t(t - 2xe^t)dx + e^t(x + e^t)dt = 0

Et ce nest toujours pas une equation exacte. Si je cherche un facteur integrant par la methode (M - N)/N ou M est la derivee du premier terme en t et N la derivee du deuxieme terme en x, jobtiens (t-2x)/(x+1), ce qui ne m'avance a rien :briques:

d'autres idees??

[Nightmare]

Je ne comprends pas ton (t-2xe^t) ? D'où vient ce e^t ?

[Pythales]

Avec le facteur intégrant tout s'arrange

[MathematicienPoche]

Bonjour,

j'ai l'équation différentielle y'' + 2y' + y = 3e^-t

j'ai essayé de poser Y = Ae^-t mais je trouve une équation impossible à résoudre 0 = 3. Comment trouver la solution? merci.

[JeanJ]

Bonjour,

Autre méthode : Au lieu de chercher directement la fonction y(x), considérons que la fonction x(y) est l'inconnue.
(x+y) + y (ln(y)-2x) (dx/dy) =0
(x/y) +1 + (ln(y)-2x) (dx/dy) =0
ln(y) (dx/dy) = d(x ln(y) )/dy -(x/y)
(x/y) +1 + d(x ln(y) )/dy -(x/y) - 2x(dx/dy) =0
1 + d(x ln(y) )/dy - 2x(dx/dy) =0
On intègre, ce qui conduit à :
y + x ln(y) -x² + c = 0
x² - ln(y) x -y-c = 0
x = (1/2)ln(y) + Sqrt[ (ln(y)²/4 +y+c ]
ou x = (1/2)ln(y) - Sqrt[ (ln(y)²/4 +y+c ]
On a obtenu les fonctions x(y) solutions de l'équation.
Chacun pourra, s'il le souhaite, déterminer les domaines dans lesquels les fonctions sont réelles, selon les valeurs de la constante d'intégration c.
Les fonctions réciproques y(x) sont solutions de l'équation (mais non exprimables avec un nombre fini de fonctions "usuelles").
PS. : Evitons les remarques du genre "c'est une méthode de physicien", comme cela c'est produit à l'occasion d'une autre discussion sur ce forum. Cette méthode est tout à fait justifiée du point de vue purement mathématique par l'ANS et on ne va pas faire içi un cours sur ce sujet.

Note : le procédé avec facteur intégrant f(y)=1/y (proposé par Phytales, que je salue à cette occasion) conduit à la même équation, donc au même résultat. (le contraire aurait été inquiétant ! )