Autour du théorème du point fixe de Banach

[ChM]

Bonjour,
Afin de me préparer à une rentrée universitaire après quelques années dans le monde professionnel, j'essaie de résoudre quelques exercices de mathématiques, et... je sèche.

Le but de l'exercice suivant est de voir ce qui se passe si on remplace les conditions nécessaires au théorème de Banach par des conditions moins fortes.

"On considère un espace métrique complet et une application . Construire un exemple d'application telle que :
1) pour
2) n'a aucun point fixe
3) ne converge pas vers zéro pour (au moins) un "

J'ai cherché un exemple dans un intervalle réel, par exemple , dont la dérivée est plus petite que 1 afin de satisfaire la condition 1) et qui ne passent pas par l'origine afin d'éviter le point fixe zéro. Mais dans tous ces exemples-là, c'est la troisième condition qui n'est pas satisfaite...
Si au contraire je teste des exemples qui convergent vers 2 points fixes, c'est la première condition qui ne fonctionne plus...
Des idées ? Ou s'agit-il d'un de ces exercices sournois ou justement il n'y a pas de solutions ?

Merci tout plein aux braves qui s'y attelleront...

Rappel au besoin : théorème de Banach

Soit un espace métrique complet et une application contractante, c’est-à-dire qu’il existe une constante telle que pour tous ,
.
Alors, admet un unique point fixe .

[Ben314]

Salut,
En cherchant au plus simple, à savoir E=R ; d=la distance usuelle et f une fonction "régulière", pour que la première condition soit vérifiée, il suffit (via le T.A.F) que |f'(x)|<1 pour tout x et pour qu'il n'y ait pas de point fixe il faut que la courbe ne coupe pas la droite y=x. L'exemple simple qui vient à l'esprit est celui d'une fonction croissante de limite nulle en -oo et ayant la droite y=x comme asymptote en +oo c'est à dire un peu supérieure à la fonction x->(x+|x|)/2 (qui est nulle sur les négatifs et =x sur les positif). Donc f(x)=(x+racine(x^2+1))/2 est un bon candidat . . .

[ChM]

Bonjour Ben,

Merci beaucoup pour ta réponse rapide. Je me cassais la tête depuis un moment, tu m'enlèves une sacrée épine du pied !

J'avais réfléchi à ce genre de fonctions, mais je m'étais dit que la troisième condition ne serait pas satisfaite. Je constate maintenant qu'en fait, elle l'est !

Très belle journée et merci encore