Autour de deux endomorphismes commutants

[carp-sarah]

Bonjour! j'ai besoin d'aide pour comprendre ce qui suit s'il vous plait!!

si on a f et g qui commutent, et qu'on apelle Ea(f) le sous espace propre associé à la valeur propre a, alors on a que Ea(f) est stable par g. Mnt si on restreint g a Ea(f), on obtient donc la restriction de g de Ea(f) dans Ea(f) (puisque pour tout x appartenant a Ea(f), g(x) appartient egalement a Ea(f). Pourquoi cette restriction de g est diagonalisable??

Merci d'avance

[L.A.]

Bonjour.

On peut montrer que la restriction de g à tout sous-espace stable par g est diagonalisable (si g est elle-même diagonalisable) en utilisant les polynômes annulateurs de g (qui annulent aussi sa restriction, évidemment). C'est la manière rapide et sans douleur.

[carp-sarah]

justement on ne sait pas que g est diagonalisable je cherche a prouver l'equivalence suivante : (f et g commutent) equivaut a (f et g dont diagonalisables simultanéments)

[L.A.]

Et ben justement, pour montrer ça, il faut supposer que f et g sont diagonalisables (séparément). Si en plus de cela ils commutent, alors ils sont diagonalisables simultanément.

Tu ne peux pas déduire de la commutativé de f et g le fait qu'ils soient diagonalisables, ça n'a aucun sens pour ainsi dire... sinon prends f = g, f et g commutent donc sont simultanément diagonalisables donc digonalisables, et tu as donc montré que tout endo est diagonalisable : c'est hautement peu probable...

[carp-sarah]

d'accord ! et quelle est la nuance entre f et g diagonalisables séparément et diagonalisables simultanément ?? est ce que c'est par rapport a la base?

[L.A.]

Oui, cela veut dire qu'on peut trouver une base dans laquelle les matrices de f et de g sont diagonales.

[carp-sarah]

tres bien! merci !! :)

[Ben314]

justement on ne sait pas que g est diagonalisable je cherche a prouver l'equivalence suivante : (f et g commutent) equivaut a (f et g dont diagonalisables simultanéments)

Il faut bien voir que ça c'est évidement complètement faux : si je prend f non diagonalisabe (si si, ça existe...) puis g bètement égale à f, il est évident que f et g commutent et c'est pas ça qui rend f diagonalisable...

Donc comme le dit L.A. le théorème que est juste c'est :

Lorsque f et g sont diagonalisable alors il y a équivalence entre :
1) f et g commutent
2) f et g dont "diagonalisables simultanéments" (c.à.d. qu'il existe une base B dans laquelle les matrices de f ET de g sont toute les deux diagonales)