Autour des valeurs d'adhérence

[capitaine nuggets]

Bonjour, je bloque sur l'exo suivant :
On a une suite de réels. On pose et et on désigne par les ensembles des valeurs d'adhérences respectivement des suites .
Je dois essayer de trouver une relation entre pour en déduire en fonction de et , mais je bloque totalement :mur:

Une idée ? Merci d'avance :++:

[Ben314]

Salut,
Tu as sans doute vu qu'un réel L est valeur d'adhérence d'une suite U ssi il est limite d'une suite extraite de U.

Ici, comme V et W sont des suites extraites de U, toute suite extraite de V ou de W est en fait une suite extraite de U donc toute valeur d'adhérence de V ou de W est une valeur d'adhérence de U :
(où désigne l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite )

Réciproquement, si on considère une valeur d'adhérence L de U, elle est limite d'une suite extraite de U.
Or l'ensemble des pour contient forcément soit une infinité d'entiers pairs, soit une infinité d'entiers impairs (voire même les deux) sinon il serait fini comme réunion de deux ensembles finis.
Cela signifie qu'on peut extraire de S une sous suite T ne contenant que des indices pairs ou bien que des indices impairs et, évidement, la suite T continue à tendre vers L.
Donc cette suite T est aussi une suite extraite de V ou une suite extraite de W ce qui implique que L est une valeur d'adhérence de V ou de W :

[capitaine nuggets]

Salut,
Tu as sans doute vu qu'un réel L est valeur d'adhérence d'une suite U ssi il est limite d'une suite extraite de U.

Ici, comme V et W sont des suites extraites de U, toute suite extraite de V ou de W est en fait une suite extraite de U donc toute valeur d'adhérence de V ou de W est une valeur d'adhérence de U :
(où désigne l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite )

Réciproquement, si on considère une valeur d'adhérence L de U, elle est limite d'une suite extraite de U.
Or l'ensemble des pour contient forcément soit une infinité d'entiers pairs, soit une infinité d'entiers impairs (voire même les deux) sinon il serait fini comme réunion de deux ensembles finis.
Cela signifie qu'on peut extraire de S une sous suite T ne contenant que des indices pairs ou bien que des indices impairs et, évidement, la suite T continue à tendre vers L.
Donc cette suite T est aussi une suite extraite de V ou une suite extraite de W ce qui implique que L est une valeur d'adhérence de V ou de W :

Oui, ok, je te suis. Mais comment en déduis-t-on en fonction de et ? Les ensembles Adh(V) et Adh(W) ne sont peut-être pas disjoints.

[Ben314]

La "limite sup" de la suite U est la plus grande valeur d'adhérence de U, c'est à dire le Max de Adh(U) (je pense que tu as vu que ce Max existe).
Comme Adh(U) est la réunion de Adh(V) et de Adh(W), le Max de Adh(U) est la plus grande des deux valeurs Adh(V) et Adh(W) (il est assez évident que, si et sont deux parties de admettant toute les deux des maximum et , alors admet pour maximum Max(a,b), quelle que soit les ensembles et , disjoints ou pas)

[capitaine nuggets]

La "limite sup" de la suite U est la plus grande valeur d'adhérence de U, c'est à dire le Max de Adh(U) (je pense que tu as vu que ce Max existe).
Comme Adh(U) est la réunion de Adh(V) et de Adh(W), le Max de Adh(U) est la plus grande des deux valeurs Adh(V) et Adh(W) (il est assez évident que, si et sont deux parties de admettant toute les deux des maximum et , alors admet pour maximum Max(a,b), quelle que soit les ensembles et , disjoints ou pas)

Ok, d'accord !
Merci beaucoup !
J'aurais une autre question à propos des valeurs d'adhérence, peut-on trouver une suite qui admet comme ensemble de valeurs d'adhérence un intervalle (comme par exemple ). Pour un ensemble de valeurs discrètes, j'ai su conclure, mais là je sèche...

[capitaine nuggets]

Ok, d'accord !
Merci beaucoup !
J'aurais une autre question à propos des valeurs d'adhérence, peut-on trouver une suite qui admet comme ensemble de valeurs d'adhérence un intervalle (comme par exemple ). Pour un ensemble de valeurs discrètes, j'ai su conclure, mais là je sèche...

j'ai pensé à qui est périodique, à valeurs dans . Le problème est de savoir si on peut trouver, pour tout x dans [0,1], un entier n dans N tel que ...

[zygomatique]

j'ai pensé à qui est périodique, à valeurs dans . Le problème est de savoir si on peut trouver, pour tout x dans [0,1], un entier n dans N tel que ...

salut

(on sait que) les suites (sin(n)) et (cos(n)) sont denses dans [-1, 1] ....

on peut prendre alors leur valeur absolue ....

[capitaine nuggets]

salut

(on sait que) les suites (sin(n)) et (cos(n)) sont denses dans [-1, 1] ....

on peut prendre alors leur valeur absolue ....

ok, mais comment prouver qu'elles sont denses dans [-1,1] du coup ?

[zygomatique]

ha ça c'est autrement plus compliqué .... et je ne m'en rappelle plus .... mais ça doit se trouver sur le net ....

par exemple http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCgQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.math.u-psud.fr%2F~perrin%2FCAPES%2Fanalyse%2FSuites%2Fcos(n)-et-sin(n).pdf&ei=kr8hVKW-ErOIsQTDiIG4Cw&usg=AFQjCNGyfdqGPpUqBXeOTLjrKrBqbR-1WA&bvm=bv.75775273,d.cWc

[capitaine nuggets]

ha ça c'est autrement plus compliqué .... et je ne m'en rappelle plus .... mais ça doit se trouver sur le net ....

par exemple http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCgQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.math.u-psud.fr%2F~perrin%2FCAPES%2Fanalyse%2FSuites%2Fcos(n)-et-sin(n).pdf&ei=kr8hVKW-ErOIsQTDiIG4Cw&usg=AFQjCNGyfdqGPpUqBXeOTLjrKrBqbR-1WA&bvm=bv.75775273,d.cWc

Ok, on se sert donc du fait que est dense dans . Merci :+++:

[Ben314]

Sinon, si tu veut une suite moins "jolie" mais telle que la preuve de la densité dans [0,1] soit immédiate, tu peut prendre par exemple
U=(0/1, 1/1 , 0/2, 1/2 , 2/2, 0/3 , 1/3 , 2/3 , 3/3 , 0/4 ,1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 , 0/5 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5 , 5/5 , 0/6 , 1/6 , 2/6 , ... )
Il est clair que n'importe quel quotient de [0,1] apparait une infinité de fois dans cette suite donc toute suite V composée de quotients de [0,1] peut être vue comme une suite extraite de U.
Et comme tout réel de [0,1] est limite d'une suite de quotients, tu conclue.

Autre solution trés simple : tu part d'une suite (u_n) de réels >0, qui tendent vers 0 et tels que la série diverge (par exemple un=1/n)
Tu considère alors la suite définie par (E(x)=partie entière de x)
On vérifie alors assez aisément que la suite vn est dense dans [0,1] (essaye de le faire...)

[zygomatique]

Sinon, si tu veut une suite moins "jolie" mais telle que la preuve de la densité dans [0,1] soit immédiate, tu peut prendre par exemple
U=(0/1, 1/1 , 0/2, 1/2 , 2/2, 0/3 , 1/3 , 2/3 , 3/3 , 0/4 ,1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 , 0/5 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5 , 5/5 , 0/6 , 1/6 , 2/6 , ... )
Il est clair que n'importe quel quotient de [0,1] apparait une infinité de fois dans cette suite donc toute suite V composée de quotients de [0,1] peut être vue comme une suite extraite de U.
Et comme tout réel de [0,1] est limite d'une suite de quotients, tu conclue.

Autre solution trés simple : tu part d'une suite (u_n) de réels >0, qui tendent vers 0 et tels que la série diverge (par exemple un=1/n)
Tu considère alors la suite définie par (E(x)=partie entière de x)
On vérifie alors assez aisément que la suite vn est dense dans [0,1] (essaye de le faire...)

merci pour ces deux exemples .... :we:

[capitaine nuggets]

Sinon, si tu veut une suite moins "jolie" mais telle que la preuve de la densité dans [0,1] soit immédiate, tu peut prendre par exemple
U=(0/1, 1/1 , 0/2, 1/2 , 2/2, 0/3 , 1/3 , 2/3 , 3/3 , 0/4 ,1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 , 0/5 , 1/5 , 2/5 , 3/5 , 4/5 , 5/5 , 0/6 , 1/6 , 2/6 , ... )
Il est clair que n'importe quel quotient de [0,1] apparait une infinité de fois dans cette suite donc toute suite V composée de quotients de [0,1] peut être vue comme une suite extraite de U.
Et comme tout réel de [0,1] est limite d'une suite de quotients, tu conclue.

Autre solution trés simple : tu part d'une suite (u_n) de réels >0, qui tendent vers 0 et tels que la série diverge (par exemple un=1/n)
Tu considère alors la suite définie par (E(x)=partie entière de x)
On vérifie alors assez aisément que la suite vn est dense dans [0,1] (essaye de le faire...)

Merci pour ces éclaircissement :+++:

[Ben314]

Je viens de voir que j'ai écrit une c... hier :

...Tu considère alors la suite définie par ...

C'est avec qu'il faut prendre.