Assertion a prouver

[LandAyZ]

Bonsoir,
J'ai une assertion à prouver et j'ai du mal (en analyse-synthese.
"∀ a ∈ R,∀ b ∈ R, a < b => (∃ p ∈ Z, ∃ q ∈ N, a < p/2^q <b)".
Merci d'avance !

[Maxymyze]

L'intervalle ](2^q)a, (2^q)b[ a un diamètre qui tend vers l'infini avec q.
Donc, pour q assez grand, il contient au moins un entier naturel p ...

[LandAyZ]

Ah je vois l'idée merci de ta réponse ! Mais ici on ne peut pas poser un p et un q pour lequel ça fonctionne ? Parce que je ne vois pas ce que pourrait être la synthèse.

[Ben314]

Salut,
Si, tu peut :
Si tu réfléchi à ce que t'a dit Maximize, à partir de quelle largeur (au minimum) est-on sûr qu'un intervalle réel contient au moins un nombre entier ?
Donc il faut que vérifie quoi ?

[tournesol]

Cette largeur n'a pas de minimum , mais une simple borne inférieure qui est 1 .
En effet l'intervalle ]0;1[ ne contient aucun entiers .
1 ne s'applique qu'aux intervalles fermés ou semi- ouverts .

[LandAyZ]

Il faut que 2^q(b-a) ≥ 1 donc en résolvant le tout on obtient q ≥ mais q doit appartenir à N donc on peut prendre la valeur absolue (pour le signe) et la partie entière supérieure (pour avoir un entier).
Est-ce bien ça ?

[Ben314]

Sur le principe, oui, modulo quelques détails :
- Il te faut prendre des inégalités stricte vu que tu veut trouver un entier dans l'intervalle ouvert ]a.2^q ; b.2^q[ (voir remarque de tournesol).
- La valeur absolue ne sert à rien : si l'entier que tu cherche doit être plus grand qu'un certain réel = -187, ben c'est pas la peine de le prendre plus grand que 187 (=|-187|) : il suffit de le prendre =0 épicétout !!!

[LandAyZ]

Je viens d'avoir une idée : pour prouver cette assertion ne pourrait-on pas procéder par l'absurde ? On a donc 2^q > 1/b-a. Supposons que l'on a le contraire qui est vrai 2^q ≤ 1/b-a donc 2^q est majorée par 1/b-a ce qui est absurde (mais je ne sais pas si ça peut être considéré comme une analyse synthèse et si oui comment la rédiger). Et puis j'aurai pas forcément besoin de trouver q ici.

[Maxymyze]

L'énoncé demande de prouver l'existence de p et q.
Il ne demande aucunement des valeurs.

[Maxymyze]

L'intervalle ](2^q)a, (2^q)b[ a un diamètre [valant (2^q)(b-a)] qui tend vers l'infini avec q.
Donc pour q suffisamment grand le diamètre de cet intervalle est >2 (on pourrait prendre > 100000000, peu importe) et l'intervalle contient donc un entier p (attention à une ambiguïté possible de cette phrase : non pas un entier p donné par avance, mais au moins un entier, qu'on appelle p).
on a donc
(2^q)a<p< (2^q)b
On divise par 2^q (qui est positif) , et c'est fini.
Qu'allez-vous chercher ?

[Ben314]

Ah je vois l'idée merci de ta réponse ! Mais ici on ne peut pas poser un p et un q pour lequel ça fonctionne ? Parce que je ne vois pas ce que pourrait être la synthèse.

Il me semble que, face à la question peut-on poser . . . , tout ce que j'ai répondu, c'est oui, on peut.
Et je n'ai jamais dit on doit : on peut trouver une formule donnant p (et q), mais ce n'est pas obligatoire.