Arithmetique

[sexandsun]

bonjour

j'ai une question assez dur a triater pour un dm si quelqun pouvait m'aider je l'en remercie

enonce

[B]on note Z/nZ l'ensemble des classes d'equivalences de Z pour la relation de congruence modulo n

donc Z/nZ ={0°?1°?.....(n-1)°}

(le ° corespond a un point au dessus de la lettre)

Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est permier c'est a dire
n premier quelque soit 1<=x<=n-1 ,x° est symetrisable pour x.

le prof nous a dit qu'il fallit utiliser le theoreme de Bezout mais je vois pa bien comment

merci a vous de m'aider
cordialement

sexandsun

[sexandsun]

bonjour je suis un classe preparatoire mat sup a CPE lyon

j'ai une question assez dur a traiter pour un dm si quelqun pouvait m'aider je l'en remercie

enonce

on note Z/nZ l'ensemble des classes d'equivalences de Z pour la relation de congruence modulo n

donc Z/nZ ={0°?1°?.....(n-1)°}

(le ° corespond a un point au dessus de la lettre)

Montrer que Z/nZ est un corps si et seulement si n est permier c'est a dire
n premier quelque soit 1<=x<=n-1 ,x° est symetrisable pour x.

le prof nous a dit qu'il fallit utiliser le theoreme de Bezout mais je vois pa bien comment

voila si vous savez comment faire ou si vous avez une idee merci a vous de m'aider
cordialement et bonne journee

sexandsun[/quote]

[yos]

1) On suppose n premier.

C'est déjà un anneau. Reste à trouver un inverse à chaque élément
non nul x°.

x est premier avec n, donc Bezout ax+bn=1, donc a°x°=1°.

2) Réciproque. Je te laisse chercher. C'est aussi facile.

[sexandsun]

ok merci bien

[sexandsun]

comment tu fais pour passer de
ax+bn=1
a
a°x°=1

??

[yos]

ax+bn=1 donc ax est congru à 1 modulo n cela revient à dire que a°x°=1°.

Autre façon de le dire, en notant s la surjection canonique de Z dans Z/nZ :
s(x)=x°

s(ax+bn)=s(1)

s est un morphisme d'anneaux :

s(a)s(x)+s(b)s(n)=s(1)

mais s(n)=s(0)=0°

donc...

[sexandsun]

meric je vais pendre la premiere methode car j'ai pas vu la surjection canonique

[yos]

C'est pas vraiment deux méthodes, c'est deux fois la même chose.

Tu as dû voir la surjection canonique sans le dire.
s(x) n'est rien d'autre que x°.

s transporte la structure d'anneau de Z au quotient Z/nZ.

Bon courage