Arithmétique

par **axiome** » 03 Déc 2008, 18:53

Bonsoir à tous,
Voilà, j'ai un exercice d'arithmétique sympathique mais qui me résiste depuis deux jours, si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce, ce serait bien sympa...
Il est court mais quand même coriace... :happy2:

Voilà l'énoncé :
Soit a un entier non nul et m, n des entiers positifs. Montrer que :

Merci à ceux qui m'aideront.

par **skilveg** » 03 Déc 2008, 18:56

Regarde ce qui se passe quand on fait une division euclidienne...

Bonne soirée

par **axiome** » 03 Déc 2008, 19:00

Euh, la division euclidienne de quoi par quoi exactement ?
J'avais pensé montrer que

et que

avec k et k' entiers relatifs.
Mais je n'ai pas abouti...

par **ffpower** » 03 Déc 2008, 19:14

Une division euclidienne de m par n(si m>n)

par **ThSQ** » 03 Déc 2008, 19:43

Ca peut se fait comme que l'algorithme d'Euclide pour calculer les pgcd aussi si on veut :

si m > n

D'ailleurs on a aussi :

comme polynômes.

par **leon1789** » 03 Déc 2008, 20:36

skilveg a écrit:Regarde ce qui se passe quand on fait une division euclidienne...

Bonne soirée

ben je fais ça très différemment, avec du calcul modulaire, c'est quasi-immédiat :

soit d=pgcd(m,n)
Modulo a^d -1, on a a^d = 1 donc a^n = ... et a^m = ...
donc a^d -1 divise ...

Soit k un diviseur commun à a^n - 1 et a^m - 1
Alors modulo k, on a a^n = 1 et a^m = 1
Od d = un +vm (Bezout) donc a^d = ...
donc k divise ...

conclusion : a^d -1 est donc...

par **leon1789** » 03 Déc 2008, 20:37

ThSQ a écrit:Ca peut se fait comme que l'algorithme d'Euclide pour calculer les pgcd aussi si on veut :

Algo d'Euclide tu dis ? enfin, ce que j'arrive à déchiffrer :zen:

ThSQ a écrit:D'ailleurs on a aussi :

comme polynômes.

On a aussi

pour tout élément a d'un anneau commutatif.

par **ThSQ** » 03 Déc 2008, 20:54

leon1789 a écrit:Algo d'Euclide tu dis ?

Oui, ca faire Euclide peut calculer.

leon1789 a écrit:un anneau commutatif.

et unitaire ... :zen:

par **leon1789** » 03 Déc 2008, 21:25

:id:

ThSQ a écrit:Oui, ca faire Euclide peut calculer.

Tu t'es lu quand tu as bu ? :beer:

par **axiome** » 04 Déc 2008, 14:48

Merci beaucoup à vous tous pour votre aide, j'ai résolu mon problème... :++:
Je suis quand même un peu effrayé par le niveau générale : quand je vois en combien de temps vous résolvez mes problèmes qui me bloquent depuis 2 jours, ça me complexe... :cry:

par **axiome** » 07 Déc 2008, 14:50

leon1789 a écrit:Od d = un +vm (Bezout) donc a^d = ...

Salut, juste une petite question encore SVP.
C'est ce donc qui me pose problème.
Pour montrer que

, tu fais :

donc

De même, tu démontre que :

par **axiome** » 07 Déc 2008, 15:00

leon1789 a écrit:Od d = un +vm (Bezout) donc a^d = ...

Salut, juste une petite question encore SVP.
C'est ce donc qui me pose problème.
Pour montrer que

, tu fais :

donc

De même, tu démontres que :

Conclusion :

et

donc

C'est bien cela ?
Parce qu'en fait, ce qui m'embête dans cette démonstration, c'est d'élever à la puissance u et à la puissance v le

et le

.
Ce sont des entiers relatifs, alors ça m'embête un peu.
Je dois faire erreur quelque part, pourrais-tu détailler un peu plus.
Merci.

par **Doraki** » 07 Déc 2008, 15:08

Si par exemple, nu est négatif,
tu peux rester dans les exposants positif en disant que

, donc en passant modulo k,

par **axiome** » 07 Déc 2008, 15:26

Oki, pas bête !
Merci de la précision.

par **axiome** » 07 Déc 2008, 16:29

Euh, encore un détail (le dernier j'espère :marteau:)
J'ai donc démontré :

et

Mais de ça, j'en déduis seulement que

et

sont soit égaux soit opposés puisque a est un entier relatif par hypothèse...
Il faudrait donc que je démontre que

est positif...
Et je bloque...
Si qqn a une idée...
Merci.

par **axiome** » 07 Déc 2008, 16:56

Encore un détail (le dernier j'espère :marteau:)
J'ai donc démontré :

est divisible par

et

est divisible par

Le problème, comme a est un entier relatif, est que je peux seulement en déduire que ces deux nombres sont soit égaux soit opposés...
Je sais déjà que

est positif puisque c'est un PGCD.
Il faudrait donc encore démontrer que

est positif.
Et là, je bloque...
Un dernier coup de pouce, ce serait sympa... :we:
Merci.

par **ffpower** » 07 Déc 2008, 17:01

par **axiome** » 07 Déc 2008, 17:04

ffpower a écrit:

Merci de la réponse.
Euh, c'est valable pour a entier relatif ?
Pourrais-tu détailler un peu plus SVP ? Ce n'est pas si évident pour moi... :marteau:
Merci.

par **ffpower** » 07 Déc 2008, 17:31

C est évidemment pas vrai si a est negatif..

par **axiome** » 07 Déc 2008, 17:34

ffpower a écrit:C est évidemment pas vrai si a est negatif..

C'est justement ça qui m'embête bien...
Parce que ma démo, j'ai presque fini, sauf que je n'arrive pas à prouver l'égalité des deux nombres... :marteau:
Enfin, j'y suis presque : je sais qu'ils sont égaux ou opposés mais après pour démontrer qu'ils sont de même signe (signe positif) pour prouver l'égalité, ce n'est pas évident...

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