Arithmétique

[mathematixe]

Bonjour, je dois trouver pour quelles valeurs de n on a (n^3+n)/(2n+1) irréductible. Je ne sais vraiment pas quoi dire à part que pgcd(n^3+n,2n+1)=1... Si vous avez des pistes je suis preneur, merci!

[pascal16]

au tableur les "réductibles" sont pour n=
2 - 7 -12 - 17 -22 -27 -32 ...
ça ressemble à du n différente de 5p+2, avec p entier

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Pour

Pour

car : .

En continuant ainsi , tu trouveras le résultat de Pascal16 .

[Pseuda]

Bonsoir,

Et/ou pour résoudre ce genre d'exercices, c'est classique, on cherche à se débarrasser de n par combinaisons linéaires en utilisant Pgcd(a,b)=Pgcd(a-kb,b).

[mathematixe]

Pouvez vous me donner un exemple s'il vous plait, que je m'en inspire pour résoudre l'exercice ?

[Ben314]

Salut,
Question : Pour quelles valeurs de la fraction est-elle irréductible ?

Réponse :

car 3 est premier avec .



Si est pair (c'est à dire si est impair) alors ne peut être égal à 1.
Si est impair, c'est à dire si est pair, alors

car 9 est premier avec .





car vu que est pair est impair.

La fraction est donc irréductible si et seulement si est pair.

[mathematixe]

Parfait j'arrive à pgcd(2-n;5)=1 donc n différent de 5k+2 merci à vous !

[chan79]

salut
(n³+n)^(2n+1)=
(2n³+2n)^(2n+1) car 2 est premier avec 2n+1
(2n³+2n-n²(2n+1))^(2n+1)=
(2n-n²)^(2n+1)=
(4n-2n²)^(2n+1)=
(4n-2n²+n(2n+1))^(2n+1)=
(5n)^(2n+1)=
(5n-2(2n+1))^(2n+1)=
(n-2)^(2n+1)=
(2n-4)^(2n+1)=
-5^(2n+1)
donc
(n³+n)^(2n+1)=5 ou 1
on vérifie facilement que 2n+1 est divisible par 5 ssi n est de la forme 2+5k et que dans ce cas, n³+n est divisible aussi par 5.

à vérifier

[Pseuda]

Bonjour,

En mixant les 2 méthodes, et en cherchant à abaisser le degré de n en amont.

(n³+n)^(2n+1)=
(n^2+1)^(2n+1)= (car n est premier avec 2n+1)
(n^2-2n)^(2n+1)=
(n-2)^(2n+1)= (même raison)
(n-2)^(5)=1 ssi 5 non | (n-2) ssi n<>5k+2.

[nodgim]

@ Pseuda : pas compris le passage de la ligne 2 à la ligne 3.

[Pseuda]

@ Pseuda : pas compris le passage de la ligne 2 à la ligne 3.

(n^2+1)^(2n+1)= (n^2+1-(2n+1))^(2n+1)=
(n^2-2n)^(2n+1)

[nodgim]

OK. C'est tout de même mieux en l'écrivant, je crois, surtout si c'est écrit dans un but didactique.

[Pseuda]

Ah désolée, je l'avais écrit plus haut : Pgcd(a,b)=Pgcd(a-kb,b). Mais c'est mieux en l'écrivant.

[nodgim]

Pas de soucis, j'aurais dû le deviner.
Je viens de me rendre compte que l'exemple de Ben314 a une réponse bien plus immédiate en raisonnant en modulo : Pour tout facteur p entrant dans la décomposition de n, le numérateur est un +1 [p] alors que le dénominateur est un -1[p]. Seul alors 2 peut être commun. Alors que dans l'exemple du problème initial, la valeur fixe +1 en haut et en bas laisse la place à des solutions moins triviales.

[Pseuda]

Bonjour nodgim,

?? Cela ne tient pas (fraction est irréductible ssi n est pair). Exemple : (5n+1)/(2n-1) qui est irréductible pour n=3 et réductible pour n=4.

[nodgim]

J'ai bien écrit que la fraction est réductible si les 2 polynômes peuvent être pairs, ce qui correspond à n impair (il faut vérifier qu'effectivement les polynômes peuvent être pairs pour un même n). A contrario, la fraction est irréductible si les 2 polynômes sont impairs.

[Pseuda]

Bonjour nodgim,

Ce qui est sûr, qu'on sait dès le début, c'est que si le numérateur et le dénominateur de la fraction de Ben314 sont tous les 2 pairs, cad si n est impair, la fraction est réductible. Donc si la fraction est irréductible, alors n est pair.

C'est la réciproque qui pose problème : si n est pair, alors la fraction est irréductible. Et ceci, avec ton raisonnement, on ne peut pas l'affirmer. Car, en faisant le même raisonnement avec (5n+1)/(2n-1) par exemple, on n'a pas : n pair => fraction irréductible (car avec n =4, la fraction =21/7=3, donc est réductible).

[nodgim]

C'est vrai, ça ne suffit pas à conclure. En fait, une méthode systématique pourrait être celle ci:
1) ramener les 2 polynômes au même degré.
2) Multiplier les 2 polynômes pour que les coefficients de plus haut degré soit identiques.
3) faire la différence des 2 polynômes.
4) retour en 1) jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un nombre. La décomposition de ce nombre fournit les éventuels facteurs communs.

Exemple pour le cas simple (5n+1) ^ (2n-1)
10n+2 ^ 10n -5
différence = 7.
Et 7 commun marche puisqu'on a affaire à des degrés 1.

Inconvénient de la méthode: elle peut conduire à un nombre final qui demandera peut être beaucoup de vérifications....

[Pseuda]

Cette méthode peut être longue. Par exemple la fraction 5n^2/(7n+4).
Pour aller plus vite , on pourrait raisonner par implications et combinaisons linéaires :
Si d | n^4+2n+1 et 3n^2-1,
alors d| 3*( n^4+2n+1) - n^2*(3n^2-1)
donc d| n^2+6n+3 et 3n^2-1
etc...
On aboutit (sauf erreur) à d | 4. Donc le pgcd du numérateur et du dénominateur est égal à 1, 2 ou 4. On en déduit que la fraction est irréductible ssi 2 ne divise pas n^4+2n+1 et 3n^2-1, donc ssi n est pair.

[nodgim]

La fraction 5n²/(7n+4) aboutit ( rapidement ! ) au nombre final 20. La réduction se fait bien pour n pair et n = 3+5k, elle est irréductible dans les autres cas.

Ce que tu proposes revient un peu au même quelque part.

Une autre fraction intéressante à étudier :
(4n^3 + 3n+ 1) / (2n²+5)