Arithmétique Fp[X]/P Z[i]

[Syphax]

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver la démonstration du théorème : "Tout idéal de Z[i] est principal"

Aussi, si K = Fp[X]/P avec deg p = 2 et a = X mod P, comment montrer que {1,a} est une base de K ?

Merci.

[Joker62]

Bonsoir,

Pour l'anneau de Gauss, il faut utiliser : Norme(z) = a^2 + b^2

Tu prends donc un Idéal de Z[i] et tu choisis z0 un élément de norme minimal et non nulle.

Tu peux montrer que I = (z0)

[Judoboy]

Pour la 2ème question ta famille est évidemment libre ; il te reste à vérifier que si t'as un polynôme quelconque de degré n sa classe dans Fp[X]/P a un représentant de degré strictement inférieur à 2 (regarde la division euclidienne par P)

[Syphax]

Bonsoir,

Pour l'anneau de Gauss, il faut utiliser : Norme(z) = a^2 + b^2

Tu prends donc un Idéal de Z[i] et tu choisis z0 un élément de norme minimal et non nulle.

Tu peux montrer que I = (z0)

Je ne vois pas d'abord quels sont les idéaux de Z[i] :/ .

Pour la 2ème question ta famille est évidemment libre ; il te reste à vérifier que si t'as un polynôme quelconque de degré n sa classe dans Fp[X]/P a un représentant de degré strictement inférieur à 2 (regarde la division euclidienne par P)

Soit b un élèment de Fp[X]/P et Q un polynome de Fp[X]. On a Q = BP + R, d'où b = R mod P. Mais en quoi dire que tous les élèments de Fp[X]/P s'écrivent R mod P revient à dire que {1,a,...,a^deg P - 1} est une base ?

[Joker62]

En fait, ce n'est pas la forme de l'idéal qui compte. C'est de savoir que c'est un idéal.

C'est comme :

lim u_n = l alors pour tout e>0 je sais qu'il existe un rang n0 à partir duquel on a l-e < u_n < l+e

On ne sait pas à quoi ressemble n_0.

Donc on choisit un idéal de I et on en prend z0 de norme minimale et non nulle.
Le but est de montrer que I = (z0)

Il y a une inclusion évidente. Reste l'autre.

Soit z dans I. Il faut montrer que z = z0*x avec x dans Z[i]
On pose donc x = z/z0 et on montre qu'il est dans Z[i] (Alors qu'à priori il serait dans Q[i])

Tu peux faire un dessin et regarder la distance d'un élément de Q[i] à un élément de Z[i]

[Judoboy]

De mémoire la méthode classique c'est de montrer qu'il est euclidien non ? On peut faire une division euclidienne avec la norme donc Z[i] est euclidien donc principal.

[Joker62]

C'est vrai que montrer qu'il est Euclidien c'est plus rapide :)

a = bq + r avec N(r) < N(b) où N est la norme précédente.

Ce n'est pas beaucoup plus évident que la principalité en fait.

[Judoboy]

J'aime beaucoup la façon dont c'est présenté sur Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Gauss

(voir à 3.3 : division euclidienne)