Arithmétique et sous groupe

[bay-z]

on veut determiner les sous groupes de Z/nZ la solution est : les s.g de Z/nZ sont mZ/nZ avec m/n . on a m/n -> nZ inclu mZ (là j'ai pas compris pourquoi nZ est inclu dans mZ ) (normalmente je pense que c'est l'inverse) (un exemple 2/6 -> 6Z inclu 2Z)????? aidez moi s'il vous plait.
autre question comment peut on determiner l'image de mZ par la surjection canonique s: Z-->Z/nZ ?

[emdro]

Effectivement, 2|6.

Peux-tu commencer à écrire 2Z et 6Z? Disons entre -12 et 12...

[bay-z]

on a 2Z={-2,-1,0,1,2} et pour 6Z={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,...,6} c'est ça? normalment c'est avec des barre par exemple nZ={0barre ,....., (n-1)barre}

[emdro]

Non.

Tu confonds Z/2Z={0,1} (avec les barres au-dessus du 0 et du 1); et 2Z qui est juste l'ensemble des nombres entiers relatifs multipliés par 2 (d'où la notation 2Z).

Alors du coup, c'est quoi 2Z, et 6Z?

[bay-z]

oui je viens de comprendre , on a donc 2Z={-12,-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12} et 6Z={-12,-6,0,6,12}

[bay-z]

et pour la question de l'image par la surjection comment on fait?

[emdro]

Très bien.

Et voilà pourquoi c'est bien 6Z c 2Z et non l'inverse... :happy2:

Maintenant, tu peux (sur cet exemple d'abord) répondre à ta deuxième question.

[abcd22]

Bonjour,

les s.g de Z/nZ sont mZ/nZ avec m/n . on a m/n -> nZ inclu mZ […] (un exemple 2/6[…]

Juste une remarque pratique en passant : pour le symbole « divise » il vaut mieux utiliser la barre verticale « | » qui est sur AltGr-6 sur les claviers AZERTY français — bien que ce soit « ¦ » qui est écrit sur la touche sur la plupart des claviers pour une raison que j’ignore…

[bay-z]

ok merci , donc on a Z-->Z/nZ alors l'image de mZ par surjection s(mZ)=(nZ+mZ)/nZ (pourquoi ça egale à nZ+mZ j'ai pas compris comment on a fait cette egalité ? aprés on pose mZ+nZ=dZ donc d'aprés bezout d=m^n alors s(mZ)=(m^n)Z/nZ donc si m/n on a alors m^n=m et s(mZ)=mZ/nZ .
j'ai des application dont je n'ai pas compris comment on a fait exemple Z/12Z={1barre} et 2Z/12Z={2barre} et 12Z/12Z={0barre}.desolé si j'étais long l'ordinateur a beugué

[emdro]

Tout cela est bien théorique, alors que tu découvres encore les notions.
Reste concret un moment avant d'essayer de tout ingurgiter.

As-tu compris ce qu'est la surjection canonique S:Z->6Z ?
Peux-tu l'appliquer à 2Z?
Qu'obtient-on?

Ensuite, tu réfléchiras à ce qu'est 2Z+6Z, puis à ce que donne S(2Z+6Z).

Ne vas pas trop vite.

[bay-z]

non je n'ai pas trés bien compris c'est quoi??? ni comment l'appliquer

[emdro]

Comme quoi, tu voulais aller trop vite. Comment voulais-tu comprendre cette démo sans savoir ce qu'est la surjection canonique?

Même si tu penses que le temps te manque, commence toujours par prendre des exemples concrets, sinon, tu n'as aucune chance de t'en sortir.

Revenons à notre chère surjection S.
S va de Z dans Z/6Z.
Canonique veut dire "simple".
Peux-tu imaginer une application simple qui à tout entier k associe une classe de Z/6Z, tout en restant une surjection?

[bay-z]

x=6k? non? (je re je fait une pause dej , une 20 min sinon merci pour tout merci beaucoup je ne sais comment vous remerciez)

[emdro]

Bon appétit! :fr:

Non si tu calcules 6k, tu auras toujours un multiple de 6. Donc le reste dans la division par 6 sera toujours 0.
La fonction que tu as créée donne pour tout k, S(k)=0* (j'écris l'étoile au lieu de la barre). Donc ce n'est pas une surjection dans Z/6Z={0*;1*;2*;3*;4*;5*}

La surjection canonique S: Z -> Z/6Z est définie par S(k)=k* tout simplement.
Donc S(3)=3*, S(6)=0*, S(13)=1*. C'est effectivement simple, et tu es certain d'avoir à la fin tous les éléments de Z/6Z (surjection).

Compte tenu de cela, après ta pause déjeuner, que donne S(2Z) ?

[bay-z]

merci à vous .on a donc s(2Z)=0* car tous les multiple de de 2 aprés une division euclidienne on aura le reste est 0 par exemple s(8)=0* mais s(3)=1* ( je pense que pour les impaires reste=1 et pour les paires reste =0 c ça?

[emdro]

Cela marcherait si on considérait la surjection canonique de Z dans 2Z.
Mais pour nous, on cherche l'image de 2Z par la surjection canonique de Z dans 6Z.

[bay-z]

S(2Z)=2Z|6Z tous les elements restant de 2Z|6Z

[emdro]

C'est effectivement 2Z/6Z.

Au passage on écrit 2|6 (barre verticale), mais bel et bien 2Z/6Z ! On est maniaque, hein?

Il faut le faire concrètement pour y comprendre quelque chose:
...
-6 -> 0*
-4 -> 2*
-2 -> 4*
0 -> 0*
2 -> 2*
4 -> 4*
6 -> 0*
8 -> 2*
10 -> 4*
...

Donc tu vois bien que S(2Z) = {0*,2*,4*}
C'est ce qu'on écrit 2Z/6Z, mais j'aurais préféré que tu me donnes la réponse précédente qui est plus concrète.

Après , tu peux suivre ta démonstration (qui est bizarre), si tu remarques que 2Z+6Z=2Z.

Deux de tes exemples sont faux.

Donne-moi, avec ma méthode (concrète)
Z/12Z=
2Z/12Z=
12Z/12Z=

[bay-z]

donc on a S(Z)=Z/12Z={0*,2*}
...
-5 -> 2*
-4 -> 0*
-3 -> 0*
...
pour S(2Z)=2Z/12Z={0*,2*,4*}
car -12 -> 0*
-10 -> 2*
-8 -> 4*
-6 -> 0*
...
et enfin S(12Z)=12Z/12Z={0*}

pourquoi pour les elements negatifs le moins n'a aucun effet sur les classes?

[emdro]

donc on a S(Z)=Z/12Z={0*,2*}
...
-5 -> 2*
-4 -> 0*
-3 -> 0*
...
pour S(2Z)=2Z/12Z={0*,2*,4*}
car -12 -> 0*
-10 -> 2*
-8 -> 4*
-6 -> 0*
...
et enfin S(12Z)=12Z/12Z={0*}

Pas d'accord avec de qui est en rouge: attention, on calcule maintenant modulo 12, puisqu'on parle de .../12Z. Il faut remplacer le 6 de nos exemples par un 12.

pourquoi pour les elements negatifs le moins n'a aucun effet sur les classes?

Si on calcule modulo 12, le principe est que tous les nombres peuvent se regrouper en différentes classes:
*les multiples de 12: 12k+0
*les multiples de 12 auxquels on ajoute 1: 12k+1
*...
*les multiples de 12 auxquels on ajoute 11: 12k+11

Ce sont ces classes qu'on note 0*, 1*,...,11* (avec une barre normalement).
Maintenant pour les nombres négatifs, c'est pareil:
Par exemple pour -3, -3 = 12*(-1) + 9 donc -3 est dans la classe: 9*.

C'est pour cela qu'on ne retrouve pas de - en général dans les classes. Mais il faut dire qu'on pourrait noter (-3)* au lieu de 9*. Ou encore 21* ...

Ca va?