Arithmétique ( PGCD )

[mehdibj]

salut , j'ai du mal a comprendre la deuxième partie du problème suivant :
on considére la suite definie par

1) montrer que pour tout n N et tout mN*
(celle la je l'ai démontrée)
2)en déduire que pour tout nN* et mN*
PGCD(,)=PGCD()
puis où r est le reste de la division euclidienne de m par n


merci d'avence

[infernaleur]

Salut,
Ta pas eue une autre question avant qui dit que pour tout n dans N* , et sont premier entre eux ?
Si oui tu peux montrer que les deux Pgcd ce divisent entre eux
i.e.
et

[mehdibj]

Salut,
Ta pas eue une autre question avant qui dit que pour tout n dans N* , et sont premier entre eux ?
Si oui tu peux montrer que les deux Pgcd ce divisent entre eux
i.e.
et

si si j'ai déja demontrer que et mais je ne vois vraiment pas comment démontrer ce que tu viens de dire

[infernaleur]

Alors on pose et

On doit montrer que d divise d' et d' divise d.
Montrons pour commencer que d' divise d ( c'est le sens le plus facile)
Je te laisse essayer.

[infernaleur]

tu dois utiliser cette caractérisation :

Soient a,b,c des entiers.
Si , alors :
i) d est le plus grand diviseur tel que d divise a et d divise b
ii) si c divise a et c divise b alors c divise d (c'est surtout ce point qui est le plus important dans la manipulation du pgcd)

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour montrer que pgcd(x,y)=pgcd(z,t), on peut aussi montrer que : si un entier d divise x et y, alors il divise z et t, et que si un entier d divise z et t, alors il divise x et y.

(Cela voudra dire que l'ensemble des diviseurs de x et y est l'ensemble des diviseurs de z et t, et donc que le plus grand est le même.)

[mehdibj]

Alors on pose et

On doit montrer que d divise d' et d' divise d.
Montrons pour commencer que d' divise d ( c'est le sens le plus facile)
Je te laisse essayer.

d' divise
d' divise
donc d' divise
et d' divise
d'où d' divise PGCD (,)

[infernaleur]

Bonsoir,

Pour montrer que pgcd(x,y)=pgcd(z,t), on peut aussi montrer que : si un entier d divise x et y, alors il divise z et t, et que si un entier d divise z et t, alors il divise x et y.

(Cela voudra dire que l'ensemble des diviseurs de x et y est l'ensemble des diviseurs de z et t, et donc que le plus grand est le même.)

Oui voilà je voulais qu'il voit sa tout seul mais c'est bien la où je voulais en venir ^^ (c'est pour sa j'ai énoncé cette caractérisation pour le mettre dans cette voie)

[infernaleur]

Alors on pose et

On doit montrer que d divise d' et d' divise d.
Montrons pour commencer que d' divise d ( c'est le sens le plus facile)
Je te laisse essayer.

d' divise
d' divise
donc d' divise (*)
et d' divise
d'où d' divise PGCD (,)

Exactement juste dans la ligne ou j'ai mis (*) justifie un petit peu.
Tu dis comme d' divise et d' divise
alors par combinaison linéaire d' divise

[infernaleur]

Bref ta montré que d' divise d bien joué.
Maintenant essaye de voir si d divise d'.

[mehdibj]

Bref ta montré que d' divise d bien joué.
Maintenant essaye de voir si d divise d'.

je pense que c'est a peu pres le méme raisonement on a
-=
on a d divise
d divise
par combinaison linéaire d divise
et d divise
d'où d divise d' ?

[infernaleur]

Bref ta montré que d' divise d bien joué.
Maintenant essaye de voir si d divise d'.

je pense que c'est a peu pres le méme raisonement on a
-=
on a d divise
d divise
par combinaison linéaire d divise
et d divise
d'où d divise d' ?

Attention !!!!
C'est faux c'est : d divise tu ne peux pas en dire plus (sa aurait été bien trop beau ^^).
Mais en effet on va se remmener à d divise mais ce n'est pas si évident que sa il faut le montrer .

Donc si je récapitule on à d divise
Mais tu ma dis que tu avais montré que sont premiers entre eux
Donc que peux tu dire de d et ???

[mehdibj]

Bref ta montré que d' divise d bien joué.
Maintenant essaye de voir si d divise d'.

je pense que c'est a peu pres le méme raisonement on a
-=
on a d divise
d divise
par combinaison linéaire d divise
et d divise
d'où d divise d' ?

Attention !!!!
C'est faux c'est : d divise tu ne peux pas en dire plus (sa aurait été bien trop beau ^^).
Mais en effet on va se remmener à d divise mais ce n'est pas si évident que sa il faut le montrer .

Donc si je récapitule on à d divise
Mais tu ma dis que tu avais montré que sont premiers entre eux
Donc que peux tu dire de d et ???

oui oui j'avais oublier de mentionné que et sont premiers entre eux
et puisque d divise donc d divise

[infernaleur]

qu'est ce qui fait que :
Si et sont premiers entre eux et d divise
alors
d divise ???

[infernaleur]

Ta conclusion est trop rapide il manque des étapes ...

[mehdibj]

qu'est ce qui fait que :
Si et sont premiers entre eux et d divise
alors
d divise ???

il manque la partie où je doit dire " donc d ne divise pas "

[infernaleur]

Oui et plus précisément ce qu'il faut dire principalement est que d et sont premiers entre eux !!!

Donc comme d divise et d et sont premiers entre eux.
D'après le lemme de Gauss :
d divise (c'est ce théorème que j'attendais que tu énonce ).

Ce qui conclut ton exercice.

[mehdibj]

Oui et plus précisément ce qu'il faut dire principalement est que d et sont premiers entre eux !!!

Donc comme d divise et d et sont premiers entre eux.
D'après le lemme de Gauss :
d divise (c'est ce théorème que j'attendais que tu énonce ).

Ce qui conclut ton exercice.

merci . c'est pas mon jour aujourd’hui

[infernaleur]

T'inquiète pas c'est pas un exo évident, y'a beaucoup de chose à vérifier et faut omettre aucune hypothèse.
Bonne nuit à toi en tout cas et à bientôt !