Arithmétique pgcd

par **superkader5** » 01 Avr 2012, 13:28

Bonjour a tous, j'ai un petit problème sur un exercice :

Trouver tous les nombres a et b vérifiant : pgcd(a,b)=6; ab²=53568

J'ai commencé par écrire a=6a' b=6b' avec a' b' premiers entre eux; ensuite on obtient
6^3a'b'²=53568

et donc on a finalement : a'b'²=2^3*31 et la je suis bloqué.
Je sais qu'ici il faut utiliser un argument de décomposition en facteur premier mais c'est un peu flou pour moi donc j'attend que quelqu'un puisse m'aider. Merci!

par **Dinozzo13** » 01 Avr 2012, 13:38

Salut !

Montre que si a' et b' sont premiers entre eux alors a' et b'² aussi.

par **Judoboy** » 01 Avr 2012, 16:04

superkader5 a écrit:Bonjour a tous, j'ai un petit problème sur un exercice :
et donc on a finalement : a'b'²=2^3*31 et la je suis bloqué.

b'² divise 2^3*31, ça te laisse peu de choix possibles pour b'.

par **superkader5** » 01 Avr 2012, 17:03

Justement, on "voit" que b'=2 mais comment utiliser le fait que a' et b'² soit premier entre entre eux. Quel résultat de cours on utilise ici?

par **leon1789** » 01 Avr 2012, 19:18

53568 = 2^6 3^3 31

Il faut répartir les facteurs entre a et b, de sorte que 6 = pgcd(a,b)

par **MMu** » 01 Avr 2012, 20:28

superkader5 a écrit:Justement, on "voit" que b'=2 mais comment utiliser le fait que a' et b'² soit premier entre entre eux. Quel résultat de cours on utilise ici?

Tu as

et

. Je te laisse trouver

ainsi que la contradiction .. :zen:

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