Arithmétique Modulaire

[Anonyme]

Bonjour,

Je vais vous mettre un sujet d'exercice mais je vous demande pas de résoudre mais plutôt de me dire les notions que je dois connaître pour résoudre ce type d'exercice.

I. Soit (G,,e) un groupe et soit Aut(G,,e) l'ensemble des bijections h de G dans G tel que :



Aut(G,,e) est appelé l'ensemble des automorphismes de (G,,e).

1. Montrez que Aut(G,\perp,e) est un sous-groupe du groupe symétrique de G.
2. Donnez tous les éléments de Aut($Z,+,0).

II.

1. Résoudre dans Z49 l'équation 5x 1 (mod 49). En déduire, les solutions dans Z de l'équation 5x 23 (mod 49).
2. Trouvez toutes les solutions dans Z de l'équation 243x + 198y = 9
3. En utilisant le lemme des restes chinois, donnez tous les nombres entiers x tel que :



4. Trouvez toutes les solutions dans Z100 de l'équation .

III. Soient a,b,c des entiers strictement positifs. Dire pour chacune des affirmations suivantes s'elle est vraie ou fausse en justifiant vos réponses :

1. Si pgcd(a,b) = pgcd(a,c) alors pgcd(a,b) = (a,b,c)
2. ppcm(,ab,) = ppcm(,)
3. b | +1 alors b | -1
4. 37^247 et 7^320 ont le même chiffre unité en base 10.

Voilà j'ai plein d'autres exemples mais en général c'est ce genre de chose.
Donc j'aimerais savoir les notions qu'il faut savoir pour les groupes, résoudres les équations (Exercice II) et comment démontrer les exercices vrai/faux sur les pgcd et ppcm.

Merci d'avance et encore une fois je demande pas de réponse mais plutôt ce qu'il me faut pour comprendre et savoir résoudre ce genre de chose.

[raito123]

Salut ,

Pour le II tu dois savoir calculer l'inverse ( dans Z/nZ "k" a un inverse ssi pgcd(k;n)=1 ) ensuite (et comme c'est indiquer) tu dois connaitre le lemme des restes chinois !!

Pour la 4éme question je pense que l'idée c'est simplifier les calcules donc résoudre l'equation modulo 4 ensuite modulo 25 !!

Pour le III :

Essaie de deviner intuitivement si c'est vrai ou faux ensuite pour démontrer je te propose des idées :

1/On note pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=d et pcgd(a,b,c)=d' !! essaies de démontrer une double divisibilité ( d|d' et d'|d) et tu peux conclure qu'ils sont égaux , sinon ( d ne divise pas d' ou d' ne divise pas d ) alors la proposition est fausse !!

2/T'essaies de faire la même chose mais cette fois avec les ppmc !!

3/ si a|b alors a|bc pour tout c relatif !!( à démontrer même si c'est evident )

4/ On veut savoir le nombre d'unité en base de 10 donc il suffit de calculer chaque nombre mod 10 !!

Voilà ( s'il y a d'autres questions n'hésites pas ^^)!!

[skilveg]

Bonjour

C'est bizarre comme question :hein:

Je dirais que tu as besoin des notions élémentaires sur les groupes, les congruences, plus quelques théorèmes comme le théorème de Bézout ou celui des restes chinois. Les outils sont en gros ceux de spé maths en terminale, et ceux de début de sup.

En fait, la plupart des choses dont tu as besoin sont dans l'énoncé...

Edit: oops pardon raito je n'avais pas vu que tu avais posté. D'ailleurs tu triches Nico ne demandait pas d'indications :lol4:

[raito123]

(...)

Edit: oops pardon raito je n'avais pas vu que tu avais posté. D'ailleurs tu triches Nico ne demandait pas d'indications :lol4:

Pas grave !!

En fait je vais mettre tout en blanc du coup c'est à lui de décider s'il en veux ou non ( enfin il a demander à savoir "comment démontrer les exercices vrai/faux sur les pgcd et ppcm." donc des indication non ?)

[skilveg]

C'est toi qui vois!

D'ailleurs les exercices sur le ppcm je les aurais plutôt vus avec la décomposition en facteurs premiers mais c'est affaire de goût!

[leon1789]

3. b | alors b |

c'est pas un exo ça.... :briques:

[raito123]

:lol: C'est toi qui vois!

D'ailleurs les exercices sur le ppcm je les aurais plutôt vus avec (...) mais c'est affaire de goût!

Oui aussi en utilisant le pcgd et bezout :lol2:

[raito123]

c'est pas un exo ça.... :briques:

Et je vais le démontrer par absurde moi :id:

[leon1789]

Et je vais le démontrer par absurde moi :id:

si tu fais ça, je signale aux modos ton message comme illicite ! :ptdr:

[raito123]

si tu fais ça, je signale aux modos ton message comme illicite ! :ptdr:

Ok Ok je l'ai même supprimer le message :freedent:

[leon1789]

Ok Ok je l'ai même supprimer le message :freedent:

moi aussi !

[raito123]

T'aurais pas dû :ptdr:

[leon1789]

T'aurais pas dû :ptdr:

j'ai cru que tu avais des remords d'avoir écrit le tiens, et que tu voulais effacer les traces...

[raito123]

Pas grave !!

On efface tout ?

[leon1789]

vi, c'est nul ... sauf ton message initial ! ...que tu as effacé...

[raito123]

c'est pas un exo ça.... :briques:

Et moi je vais le démontrer par absurde :id:

[leon1789]

Et moi je vais le démontrer par absurde :id:

hummm ... m'étonne pas de toi !

(...) mais c'est affaire de goût!

ah ben, si c'est une affaire d'égoût alors...

ok, je sors...

[raito123]

Ok je sors !!

Atta !

Tiens c'est ici : c'est les participants au IMO 2008 (... )

[Anonyme]

Désolé pour ma réponse si tardive mais j'étais pas trop là ces temps ci.
Merci pour vos réponse, je vais y travailler à partir de demain.

Sinon j'ai posé ces questions parce que j'ai pas fait bac S, pas de spé math etc.. et j'ai maintenant dans mon cursus beaucoup de math et donc j'essaie de m'en sortir ;)

Encore merci pour vos indications et si j'ai encore des soucis je vous les exposerais ;)

EDIT: Si vous avez des cours sur l'arithmétique cela m'intéresse. En fait j'ai vu un post de quelqu'un qui justement avait mis le même programme que moi (Arithmétique & Crypto) mais je peux pas coller le programme parce que sur le site de ma fac, ils ont fait la mise à jour des programmes et cette matière va disparaître l'année prochaine (c'est bizarre les matières où j'ai le plus de mal disparaisse après que j'ai passé mon année...).

[abcd22]

Bonsoir,

EDIT: Si vous avez des cours sur l'arithmétique cela m'intéresse. En fait j'ai vu un post de quelqu'un qui justement avait mis le même programme que moi (Arithmétique & Crypto) mais je peux pas coller le programme parce que sur le site de ma fac, ils ont fait la mise à jour des programmes et cette matière va disparaître l'année prochaine (c'est bizarre les matières où j'ai le plus de mal disparaisse après que j'ai passé mon année...).

Des gens ont donné des adresses avec des cours de prépa dont certains devraient t'intéresser dans ce topic.