Arithmétique dans Z

[fahr451]

bon ben voila c 'est fini

il suffit d econnaitre la puissance de 2 disons a et la puissance de 5 disons b

ds la décomposition de 2007!

le nbre de 0 sera minimum (a,b) qui en fait vaut toujours b .

[pouik]

okay, mais pour

Résoudre entièrement le problème,

on fait comment ??

[pouik]

Sauriez-vous ce que signifie : Résoudre entièrement le problème ?

-> Car je ne vois pas du tout de quoi il retourne !

[fahr451]

résoudre le pb c 'est donner le nombre exact de zéros non ?
donc donner la puissance de 5 ds 2007!

qui vaut E(2007/5) +E(2007/25) +E(2007/125) +...

à toi de prendre ton petit boulier pour donner la petite valeur numérique

[pouik]

oui mais dans notre situation, que vaut (i.e. la puissance à laquelle il faut s'arrêter) ?

[fahr451]

E [ln (2007)/ln(5)] suffit d écrire l encadrement vérifié par gn et passer aux ln

[aviateurpilot]

oui mais dans notre situation, que vaut (i.e. la puissance à laquelle il faut s'arrêter) ?

il autre termes () sont tous egal a 0 car pour ;

PS : pour aviateurpilot,
J'ai un exo sur la fonction indicatrice d4euler (c'est de l'arithmétique comme vous aimez) que je n'arrive pas à résoudre entièrement.
Donc si vous êtes preneur, ça m'arrangerais énormément. :zen:

quel est ce exo?

[pouik]

okay je comprends, merci.

donc le problème est le suivant :

Notations : pour tout entier supérieur ou égal à :
- désigne l'ensemble des entiers tels que .
- désigne le cardinal de , c'est-à-dire est le nombre d'entiers compris au sens large entre et qui sont premiers avec .

1. Quelques valeurs de ... Soit .
(a) Déterminer et en déduire .
(b) Mêmes questions avec , où . On déterminera d'abord les entiers de qui ne sont pas premiers avec .

2. Carcatère multiplicatif de . Soient tels que .
On considère l'application qui à tout couple associe le reste de la division euclidienne de par , situé, dans .
(a) Montrer que est injective.
(b) Montrer que est bijective.
(c) Montrer que induit une bijection de sur , et conclure.

3. Une expression de pour quelconque... Soit et sa décomposition en facteurs premiers. Etablir :


Donc moi j'ai réussi à faire le 1. seulement (et en plus je n'arrive pas bien à justifier mes réponses). Merci d'avance pour votre aide. :we:

[fahr451]

a)tp = {1,...,p-1} phi (p ) =p-1

b) un nbre non premier avec p^a est un multiple de p
combien y en a t il ds [1,p^a]?

[pouik]

Je trouve :



Mais pour le justifier bien comme il faut je n'y arrive pas trop (ma méthode est plutôt instinctive ! :happy2: :ptdr: )

[fahr451]

tout est là : k peut prendre les valeurs de 1 à p^(a-1) donc p^(a-1) valeurs
et il y a p^a -p^(a-1) nbres ds tp^a

[pouik]

oui mais je n'arrive pas à justifier ceci : comment faire pour découper mon raisonnement en plusieurs étapes ?

[fahr451]

hum

0

[pouik]

oui,
mais déjà la première inégalité : il ne faut pas justifier d'où elle vient ? :hum:
sinon le reste je suis d'accord

[fahr451]

hum
ne cherche t on pas les multiples de p compris entre strictement 0 et non strictement p^a ??

[pouik]

si bien sur

[fahr451]

donc la première inégalité n'en est que la traduction

[pouik]

on est donc d'accord pour la question 1.

Cependant pourriez vous m'aider pour la 2. car j'ai essayé des heures durant hier sans résultats. :cry: :cry:

[fahr451]

on prend (a,b) et (a',b') ayant même image r donc

an+bm = mnq +r et a'n+b'm = mnq'+r

on soustrait membre à membre
et on voit que m divise a-a' or a-a' est compris entre -m et m strictement donc est nul idem avec b-b' et (a,b) = ( a',b') c 'est l injectivité

[pouik]

okay pour cette question :
pour la suivante je pense qu'il faut utiliser ceci mais je ne vois pas vraiment comment !
Si est injective et si alors est bijective.