Arithmetique dans Z, division euclidienne

[MaitreMoulax]

Bonjour à tous!

Un exercice me pose beaucoup de difficultés et je pense avoir besoin d'aide extérieure. Je tourne en rond, je m'embrouille vite.

Voici le numéro : Montrer que le reste de la division Euclidienne de par est , où r est le reste de la division Euclidienne de b par a.

Mes réflexions;

On veut montrer que
Si a divise b, on a ou r=0 car a divise b.
Par la suite, je tente de remplacer les aq par b-r, les r par b-aq, je n'ai pas de résultat concluant. Sinon, j'ai tenté de développer (b^n-1) avec l'identité et de remplacer/tuer le grand polynôme mais je me perd dans mes calculs et ca devient vite n'importe quoi.

Quelqu'un saurait par où commencer? Je vous remercie!

[Ben314]

Salut,
Il y a plusieurs méthodes plus ou moins longues et plus ou moins généralisable.
Une méthode courte, ça peut consister à bien écrire proprement les définitions :
- On a avec et on veut montrer qu'il existe un entier tel que avec avec .
La double inégalité est évidente vu les hypothèses et montrer l'égalité consiste à montrer que est divisible par .
Ce qui se fait aisément (simple factorisation "classique" utilisant en particulier le truc que tu as écrit dans le cas où divise )

[MaitreMoulax]

Merci pour ta réponse rapide et précise!