Arithmétique, congruence et pgcd

[S@N-SaYaN M@n]

Bonjour,
Je dois donner un cours particulier à un élève de terminale Spé Math. Le problème est que je suis plutôt un analyste et que les cours de soutien concerne le domaine de l'arithmétique auquel je n'ai pas touché depuis des années. Or j'ai 3 exercices (qui n'ont pourtant pas l'air insurmontables) que je dois aider l'élève à résoudre et sur lesquels je sèche. Donc si quelqu'un pouvait me donner quelques indications, toutes seront les bienvenue...
Merci pour votre aide

Voici les énoncés :
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1_ Soit a,b,c trois naturels quelconques.
Montrez que si a^3+b^3+c^3=0(mod 7), alors abc=0(mod 7)
=: congru
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2_ Le PGCD des entiers a et b est égal à d .
Calculer le PGCD de :
pa+qb et ra+sb avec p,q,r,s entiers vérifiant:
ps-qr=1
ici "=" garde sa propre signification.
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3_ Quels sont les nombres premiers p pour lesquels la somme des carrés de p nombre entiers consécutifs quelconques est divisible par p.
On admet dans cet exercice que pour tout entier n supérieur ou égal à 1:
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
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[alavacommejetepousse]

bonsoir

modulo 7 il a 7 valeurs de - 3 à +3 calculeles valeurs possibles de chaque cube et la somme des trois cubes à quelle CNS la somme fait elle 0 ?

[alavacommejetepousse]

le 2

u = pa+qb v = ra+sb

calcule su -qv

[Maxmau]

Exo2

Posons A = pa+qb et B = ra+sb
A cause de ps-qr=1, on a (en résolvant): a = PA + QB et b = RA + SB où P,Q,R,S sont des entiers
Donc tout diviseur commun à a et b est aussi un diviseur commun à A et B et réciproquement

[alavacommejetepousse]

Exo2

Posons A = pa+qb et B = ra+sb
A cause de ps-qr=1, on a (en résolvant): a = PA + QB et b = RA + SB où P,Q,R,S sont des entiers
Donc tout diviseur commun à a et b est aussi un diviseur commun à A et B et réciproquement

c'est - et non + et c'est ce que je proposais il y a un moment

[S@N-SaYaN M@n]

Merci à tous pour votre aide.
Cepandant la phrase
"`Donc tout diviseur commun à a et b est aussi un diviseur commun à A et B et réciproquement"', ne paraît pas si évidente à partir de
u = pa+qb
v = ra+sb

a=su-qv
b=pv-ru
Je ne vois pas pourquoi pgcd(a,b)=pgcd(u,v) ? ça doit être évident mais je ne vois pas.
%---------
Pour l'exercice 2, je ne vois toujours pas comment trouver les nombres tels que cette somme des carrés de p nombres entiers consécutifs
[(n+p-1)(n+p)(2(n+p-1)+1) - (n-1)(n)(2(n-1)+1)]/6
soit divisible par p
%---------
Si vous pouviez me donner quelques indications supplémentaires...
Merci

[Maxmau]

Merci à tous pour votre aide.
Cepandant la phrase
"`Donc tout diviseur commun à a et b est aussi un diviseur commun à A et B et réciproquement"', ne paraît pas si évidente à partir de
u = pa+qb
v = ra+sb

a=su-qv
b=pv-ru
Je ne vois pas pourquoi pgcd(a,b)=pgcd(u,v) ? ça doit être évident mais je ne vois pas.
%---------
Pour l'exercice 2, je ne vois toujours pas comment trouver les nombres tels que cette somme des carrés de p nombres entiers consécutifs
[(n+p-1)(n+p)(2(n+p-1)+1) - (n-1)(n)(2(n-1)+1)]/6
soit divisible par p
%---------
Si vous pouviez me donner quelques indications supplémentaires...
Merci

u = pa+qb
v = ra+sb

a=su-qv
b=pv-ru

Si d est diviseur commun à a et b, il divise pa+qb = u et de même il divise v
C'est donc un diviseur commun à u et v

On montre de même (avec les égalités 3 et 4) qu'un diviseur commun à u et v est aussi un diviseur commun à a et b.

a et b ont mêmes diviseurs communs que u et v
donc PGCD(a,b) = PGCD(u,v)