Arcsinx

[Ben314]

Il est clair que

Jusque là, c'est trés nettement insuffisant pour justifier que Arcsin(sin(t))=t.
Par exemple, pour t=3pi/4, on a sint(t) dans [0,1] et arcsin(sin(t))=pi/4 qui est différent de t.
Idem pour arcsin(-cos(2t)).

[SawcenMS]

Réfléchis deux secondes avant de dire "donne moi la solution", car la solution vient de t'être donnée.

La dérivée de x-> arcsin(x) est ........... , et on remplace x par racine(x)... pour avoir la dérivée de Arcsin(racine(x)) qui est bien le produit de la dérivée de l'intérieur par la dérivée de Arcsin appliquée à l'intérieur (ici l'intérieur est racine x...).

Il faut correctement appliquer la formule (v(u(x)))' = u'(x) * v' ( u(x)).

je connais bien cette règle et je l'ai appliquée :mur:

[SawcenMS]

ok merci bien pour votre aide :ptdr:

[Black Jack]

f(x) = arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1)
Df : [0 ; 1]

f'(x) = (1/(2Vx))/V(1-x) - (1/2)*2/V(1-(2x-1)²)
f'(x) = 1/(2.V(x.(1-x)) - 1/V(-4x²+4x)
f'(x) = 1/(2.V(x-x²) - 1/(2.V(-x²+x) = 0

f(x) = constante (sur [0 ; 1])
f(0) = arcsin(0) - (1/2)arcsin(-1) = 0 + Pi/4 = Pi/4

f(x) = Pi/4
arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1) = Pi/4
*****
f(x) = arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1)
Df : [0 ; 1]
Poser x = sin²(t) avec t dans [0 ; Pi/2]

arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1) = arcsin(sin(t)) - (1/2)arcsin(2sin²(t)-1)
= arcsin(sin(t)) - (1/2)arcsin(-cos(2t))
= arcsin(sin(t)) - (1/2)arcsin(-sin(Pi/2 + 2t))
= arcsin(sin(t)) + (1/2)arcsin(sin(Pi/2 + 2t))
= arcsin(sin(t)) + (1/2)arcsin(sin(Pi-(Pi/2 + 2t)))
= arcsin(sin(t)) + (1/2)arcsin(sin(Pi/2 - 2t))

Et compte tenu que t est compris dans [0 ; Pi/2] et donc que (Pi/2 - 2t) est compris dans [-Pi/2 ; Pi/2], on a arcsin(sin(t)) = t et arcsin(sin(Pi/2 - 2t)) = Pi/2 - 2t

--> arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1) = t + (1/2).(Pi/2 - 2t)

arcsin(;)x) - (1/2)arcsin(2x-1) = Pi/4
*****

:zen: