Arcsin et Arctan

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Pseuda
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Arcsin et Arctan

par Pseuda » 17 Juil 2017, 11:29

Bonjour,

Au hasard d'un exercice, je déduis que : .

A vous de le démontrer directement !



aviateur
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Re: Arcsin et Arctan

par aviateur » 17 Juil 2017, 12:33

Bonjour
Tu poses quand x>0,

tu fais le calcul de f'(x), en réduisant au même dénominateur tu vois que
f'(x)=0. Donc f est constante sur R^+*. La constante =0 en regardant à l'infini.
La propriétés est vraie sur R^*+

Pythales
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Re: Arcsin et Arctan

par Pythales » 17 Juil 2017, 12:50

Elémentaire mon cher




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Re: Arcsin et Arctan

par Lostounet » 17 Juil 2017, 12:50

Pseuda a écrit:Bonjour,

Au hasard d'un exercice, je déduis que : .

A vous de le démontrer directement !


Salut Pseuda,

Comme pour tout n dans N*, on a:


Cela signifie que les deux réels
t = Arcsin(1/sqrt(n+1))
et t' = Arctan(1/sqrt(n))

Ont même sinus pour tout n.

De plus, t et t' appartiennent à l'intervalle [-pi/2 ; pi/2[.

Est-ce ok?
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Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 17 Juil 2017, 13:13

Salut,

édit
Modifié en dernier par Arbre le 17 Juil 2017, 13:27, modifié 1 fois.

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Re: Arcsin et Arctan

par Lostounet » 17 Juil 2017, 13:18

Arbre a écrit:Salut,

Il y a une recette pour produire des astuces, sans attendre un exercice, cf ma signature.


Please évite ce genre d'interventions inutiles...
C'est un forum de mathématiques ici pas celui des témoins de Jéhovah ("les secrets de l'imagination", "le bijou analytique").
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Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 17 Juil 2017, 13:25

Lostounet a écrit:C'est un forum de mathématiques ici pas celui des témoins de Jéhovah ("les secrets de l'imagination", "le bijou analytique").

Là je suis vexé , moi qui croyait bien faire, bon à l'avenir j'essaierais de garder mes secrets pour moi.

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Re: Arcsin et Arctan

par Lostounet » 17 Juil 2017, 13:27

Des fois tu dis des choses pertinentes (et intéressantes mathématiquement). D'autres fois et souvent on dirait que tu sors tout juste d'un coffee shop à Amsterdam et que tu te mets à poster des choses.

On ne peut pas faire sourde oreille indéfiniment...
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Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 17 Juil 2017, 13:35

Je ne mens pas quand je dis que j'ai une recette pour l'imagination, comme j'ai put donner la recette pour faire des énigmes, et celle là est transmissible, j'ai réussi à la transmettre à au moins une personne.

Bon aprés, on ne peut pas forcer les gens à s'intérésser à nos centres d'intêret.

aymanemaysae
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Re: Arcsin et Arctan

par aymanemaysae » 17 Juil 2017, 15:46

Bonjour ;

La formule de Pseuda est un cas particulier d'une formule plus générale :



Il suffit de prendre :

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Re: Arcsin et Arctan

par Pseuda » 17 Juil 2017, 19:57

Bonsoir,

Merci à tous pour votre contribution !

Par ailleurs, il me semble facile de "fabriquer" des énigmes. Pour prendre un exemple le plus simple, on peut développer un polynôme d'un certain degré (produit de polynômes du 1er degré), et il s'agit de le re-factoriser.

Ou bien, on peut partir d'une formule classique comme : a²+b²>=2ab, et on la "complique" pour aboutir à une inégalité qu'il faut démontrer.

Et il y a aussi la formule sur laquelle on tombe par hasard, et on demande de la démontrer sans aucune indication (pas celle que j'ai proposée plus haut, c'était trop facile).

etc...

Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 18 Juil 2017, 14:06

Bonjour,

Pseuda a écrit:Par ailleurs, il me semble facile de "fabriquer" des énigmes. Pour prendre un exemple le plus simple, on peut développer un polynôme d'un certain degré (produit de polynômes du 1er degré), et il s'agit de le re-factoriser.


Fabriqué une énigme est facile oui, un algorithme peut en faire autant, le truc c'est d'en faire une qui soit aussi jolie.

Critère de beauté d'une énigme (par ordre d'importance ) :

1/-plus elle est courte mieux c'est.
2/-plus elle est comprise mieux c'est.
3/-plus l'énigme est étonnante mieux c'est.
4/-plus l'énigme n'est pas immédiate, à résoudre, mieux c'est.
5/-plus la réponse est courte mieux c'est.


Voilà.

Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 18 Juil 2017, 14:35

Tiens une petite pour le plaisir des yeux :

Calculer :

Plus jolie ici
Modifié en dernier par Arbre le 18 Juil 2017, 18:12, modifié 1 fois.

Pseuda
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Re: Arcsin et Arctan

par Pseuda » 18 Juil 2017, 16:10

Arbre a écrit:Critère de beauté d'une énigme (par ordre d'importance ) :

1/-plus elle est courte mieux c'est.
2/-plus elle est comprise mieux c'est.
3/-plus l'énigme est étonnante mieux c'est.
4/-plus l'énigme n'est pas immédiate, à résoudre, mieux c'est.
5/-plus la réponse est courte mieux c'est.

Bonjour,

J'aurais mis la 4) en premier. Si l'énigme est immédiate à résoudre, ce n'en est plus une. Si elle est longue à résoudre, elle obtient une célébrité (dès lors qu'elle remplit 1), 2) : exemple th. de Fermat-Wiles dont l'énoncé peut être compris par un collégien et même l'homme de la rue). Le 3) me paraît induite par 1), 2) et 4). La 5) me paraît de moindre importance. Enfin bref.

D'ailleurs "facile et simple ne sont pas confondus", je pense que tout le monde ici est en intimement persuadé.

Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 18 Juil 2017, 16:15

Pseuda a écrit:La 5) me paraît de moindre importance...

La 5/ veut simplement dire que le problème a une réponse élègante (comme on dit en math), et cela rend l'énigme encore plus belle (quand on trouve la réponse élégante).


Pseuda a écrit: Le 3) me paraît induite par 1), 2) et 4)

Non, prends le thèoréme des 4 couleurs, il remplie bien 1/,2/ et 4/ mais pas 3/.


Pseuda a écrit:D'ailleurs "facile et simple ne sont pas confondus", je pense que tout le monde ici est en intimement persuadé.

Non, c'est faux, peu de monde ici pense que le théorème de Fermat pourrait se résoudre en moins de 10 lignes, facile à comprendre, mais tellement astucieuses qu'elles étaient dur à trouver.

Pseuda
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Re: Arcsin et Arctan

par Pseuda » 18 Juil 2017, 17:19

Arbre a écrit:Non, prends le thèoréme des 4 couleurs, il remplie bien 1/,2/ et 4/ mais pas 3/.

Pas d'accord, le théorème des 4 couleurs est très étonnant. Tout le monde a colorié des cartes de géographie et a pu s'en rendre compte...


Arbre a écrit:
Pseuda a écrit:D'ailleurs "facile et simple ne sont pas confondus", je pense que tout le monde ici est en intimement persuadé.

Non, c'est faux, peu de monde ici pense que le théorème de Fermat pourrait se résoudre en moins de 10 lignes, facile à comprendre, mais tellement astucieuses qu'elles étaient dur à trouver.

Pas d'accord, de prime abord, le théorème de Fermat était simple (il tenait dans une marge ...), certains le pensent encore (va dans le forum salon mathématique, les tentatives continuent), mais (pour l'instant), ce n'est pas facile...

Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 18 Juil 2017, 17:33

Pseuda a écrit:1/Pas d'accord, le théorème des 4 couleurs est très étonnant. Tout le monde a colorié des cartes de géographie et a pu s'en rendre compte...


2/Pas d'accord, de prime abord, le théorème de Fermat était simple (il tenait dans une marge ...), certains le pensent encore (va dans le forum salon mathématique, les tentatives continuent), mais (pour l'instant), ce n'est pas facile...


1/Quand tu étais petite tu as dû faire de la géographie et remarquer (si tu étais curieuse (dans le bon sens du terme)) que c'est impossible de le faire pour l'Europe du Nord (à cause de l'enclave du Luxembourg) avec 3 couleurs, alors 4 devraient suffire.

1bis/ ou prends la conjecture de Kepler, dont on savait le résultat sans avoir de démonstration de maths.

2/Va voir le nombre de critiques contre ces personnes que certains nomment de manière hautaines des additionneurs, et que pas grand monde ne prend au sérieux "officiellemment"

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Re: Arcsin et Arctan

par Pseuda » 19 Juil 2017, 11:05

Bonjour,

En effet quand on colorie une carte, on se rend compte dans la pratique que la plupart du temps, 3 couleurs suffisent. Il ne faut 4 couleurs que dans de rares cas. C'est une énigme dans l'énigme.

Je ne connaissais par la conjecture de Kepler et sa démonstration par ordinateur, intéressant.

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mathelot
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Re: Arcsin et Arctan

par mathelot » 19 Juil 2017, 14:02

aymanemaysae a écrit:Bonjour ;

La formule de Pseuda est un cas particulier d'une formule plus générale :






soit un triangle rectangle ABC de côté , , de longueur d'hypoténuse

pour x>0




l'égalité est encore valable pour x<0 les fonctions arcsin() et arctan() étant impaires.

pour x=0 arctan(0)=arcsin(0)
Modifié en dernier par mathelot le 19 Juil 2017, 14:04, modifié 1 fois.

Arbre

Re: Arcsin et Arctan

par Arbre » 19 Juil 2017, 14:03

Salut,

@Pseuda : En plus le théorème des 4 couleurs ne s'appliquent pas aux cartes, car il existent des pays qui ne sont pas connexes et change de formes avec le temps : (exemple Angleterre avec Gibraltar, et jusqu'à récément avec aussi Hong-Kong...).

Cordialement

 

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