Arcs paramétrés

par **StaNjie** » 31 Oct 2010, 14:52

Bonjour, voici un exercice donné qui porte sur les arcs paramétrés notamment. Je pense avoir réussi à le faire, mais j'aimerais pouvoir vérifier la cohérence de certaines réponses.
Voici l'énoncé:
Soit l'arc (C1) dont une représentation paramétrique est:

1.)Soit M un point de (C1) de paramètre t, donner l'équation de la tangente (T) en M à (C1).

Je trouve ici comme équation de (T):

2.)On appelle H la projection orthogonale de O sur (T). Donner les coordonnées cartésiennes de H, en déduire une équation polaire de l'arc décrit par H noté (C2).
3.)Construire les arcs (C1) et (C2).

J'obtient ici:

et

Pour déduire l'équation polaire de l'arc décrit par H, je suis passé par la forme "r²=x²+y²" et j'obtient ainsi

, mais c'est ici que je doute de mon résultat. Quelqu'un peut-il me dire si mon raisonnement est correct?

par **Ben314** » 31 Oct 2010, 15:35

Salut,
1) O.K.
2) O.K. pour xH, mais pas pour yH (Les coordonnées de ton H ne vérifient pas l'équation de la tangente...)
3) Si ton xH et ton yH était juste, ben ça serait super compliqué d'en déduire une équation polaire de (C2). Heureusement, yH est faux... :zen: (et avec "le bon" yH, l'équation polaire va "te sauter aux yeux")

par **Ericovitchi** » 31 Oct 2010, 15:49

non je ne suis pas d'accord avec les coordonnées de ton point H (et d'ailleurs si yH=-xH, il décrirait la droite Y=-X)

Moi j'ai dit qu'un vecteur normal à la droite 2cos(t) X + sin(t) Y -2=0 était

(2cos(t),sin(t))
Et que donc un point de la perpendiculaire a pour coordonnées (2ucos(t),usin(t)) (ce sont les équations paramétriques de la droite si tu veux)
donc le point H est à l'intersection donc 4ucos²(t)+usin²(t)=2 donc u=2/(1+3cos²(t))

Et donc les coordonnées de H c'est (4cos(t)/(1+3cos²(t) ; 2sin(t)/(1+3cos²(t)) donc c'est OK pour ton xH, c'est ton yH qui ne va pas
Qui te définissent donc cette courbe que l'on peut voir dans geogebra si on veut:

par **StaNjie** » 31 Oct 2010, 16:33

Je viens de repérer mon erreur de calcul, et je tombe bien sur les mêmes coordonnées de H que toi Ericovitchi!

Par contre pour l'équation polaire, je trouve

, or ce n'est pas une forme vue en cours (racine carrée en bas). Erreur de ma part?
Autre question: Dois-je remplacer le

par un

?

par **Ben314** » 31 Oct 2010, 16:40

StaNjie a écrit:Par contre pour l'équation polaire, je trouve , or ce n'est pas une forme vue en cours (racine carrée en bas). Erreur de ma part? ?

Ben d'où tu la sort ta racine carrée ?
Ton xH et ton yH se présentent sous la forme xH=cos(t).? et yH=sin(t).? avec le même ? dans les deux cas, donc l'équation polaire, ben c'est r(t)=? (de toute façon, à part quand on arrive à présenter les coordonnées sous cette forme, le reste du temps, c'est super la m... de déterminer les coordonnées polaires)

StaNjie a écrit:Autre question: Dois-je remplacer le par un ?

Alors là, c'est franchement comme tu veut...
Fait tu une différence entre
"Soit f la fonction définie par f(x)=x²"
et
"Soit f la fonction définie par f(t)=t²" ?
le seul truc, c'est que si tu met un t tu écrit r(t)=... et si tu met un theta, ben tu écrit r(theta)=...

par **StaNjie** » 31 Oct 2010, 16:56

Justement je n'ai pas le même ? : j'ai xH=cos(t).2? et yH=sin(t).?, donc 2 r(t) différents...

par **Ben314** » 31 Oct 2010, 17:35

OUPPPPPS !!!
Effectivement, c'est aussi ce que je trouve....
Donc ça me semble pas mal la m... .
Tu peut effectivement calculer

pour déterminer la distance de l'origine au point H(t), mais pour déterminer à quel angle ça correspond, ben c'est pas façile : l'angle

entre le demi axe des x (coté >0) et la demi droite [OH) vérifie

et

mais vu la tête de ces équations, ça semble un peu désespéré...

Si tu veut absolument l'équation polaire de (C2), je te suggérerais bien une toute autre approche :
On oublie tout ce qui a déjà été fait et on considère un point H de coordonnées

(pour le moment, on ne connait ni

ni

).
a) Ecrire une équation de la droite D passant par H et perpendiculaire à (OH).
b) Déterminer à quelle condition (sur

et

) cette droite D coupe l'élipse (C1) en un unique point.
Indication : une équation cartésienne de (C1) est x²+(y/2)²=1.
c) En déduire l'équation polaire de (C2).

par **Ben314** » 31 Oct 2010, 17:51

Comme je t'ais un peu "enduit d'erreur", je t'offre gratos pas cher un petit dessin : Rouge=(C1)=élipse ; Bleu=(C2)

et le résultat du c) du post précédent :
tu devrait trouver

(qui est ce que j'ai représenté sur le dessin donc je suis sûr de mon coup cette fois...)

par **StaNjie** » 31 Oct 2010, 18:19

J'avoue avoir un peu de mal avec cette méthode... En effet on nous demande de déduire une équation polaire, pas de faire un autre raisonnement! Mais je te remercie quand même de t'être décarcasser pour moi, une fois encore!

par **Ben314** » 31 Oct 2010, 19:25

Si tu cheche à "déduire", ben tu tombe sur les équations de mon post de 17h35
et je vois pas trop comment résoudre ces équetions (i.e. trouver theta)

par **StaNjie** » 02 Nov 2010, 15:17

Quelqu'un aurait-il une idée autre que celle de Ben? Merci d'avance!

par **Ben314** » 02 Nov 2010, 15:58

En regardant de plus prés, on peut effectivement "déduire" :

qui correspond à un angle

tel que :

et

.

On en déduit que

et donc que :

donc

par **StaNjie** » 02 Nov 2010, 16:54

C'est parfait! Maintenant il ne me reste plus qu'à étudier C1 et C2 pour les construire!

Arcs paramétrés

Arcs paramétrés

Qui est en ligne