j'ai deux petits problèmes :
On construit par recurrence les lignes d'un tableau de la facon suivante :
(1,1)
(1,2) (2,1)
(1,3)(3,2)(2,3)(3,1)
(à titre informatif, cet arbre porte un nom particulier?!)
(1,3) est un fils gauche de (1,2) , et (3,2) un fils droit de (1,2)
pour k appartenant à {1,...,2^(n-1)} (x_{2k-1},y_{2k-1}) = (a_k,a_k + b_k)
[
D'une manière plus simple :
(a,b) donne naissance à
(a,a+b) et a (a+b,b) je crois
]
J'ai "démontré" que:
1*les couples de la ligne n sont constitués d'entiers >= 1
2*le nombre de noeuds situés sur la ligne n est = 2^(n-1)
3*si (x,y) est un noeud de la ligne n, (n>1) alors x>1 ou y>1
4*si (x,y) est un fils gauche, alors x
5*les couples figurant sur les lignes 1,2,...n du tableau sont distincts
deux à deux
[ici j'ai fait une "fausse récurrence", j'ai dit que les noeuds d'une ligne
étaient distincts deux à deux (en faisant une initialisation), et donnaient
chacun naissance à deux autres noeuds differents du pere, et differents
entre eux, donc tous les noeuds d'une ligne sont distincts deux à deux, et
distincts des noeuds de la ligne précédente, donc tous les noeuds sont
distincts deux à deux?! ]
6*la ligne n commence par le couple (1,n) et se termine par le couple (n,1)
..
7*si (a,b) est un noeud de l'arbre, alors a et b sont premiers entre eux
Et on me demande :
On considère deux entiers naturels non nuls p et q tels que p et q sont
premiers entre eux. Montrer que le couple (p,q) est un élement du tableau.
On pourra raisonner par recurrence sur la somme p+q .
Mon idée :
j'ai montré en 7* que si (a,b) est un élément du tableau, alors a et b
premiers entre eux. (pee)
donc il existe au moins un coupe p et q, p et q pee, tel que (p,q) soit un
élément du tableau.
(1,p) (p,q)... (q,p) (p,1)
(1,p+1)(p+1,p)(p,p+q)(p+q,q)..(q,p+q)(p+q,p)(p,p+1)(p+1,1)
Puisqu'il s'agit d'une somme p+1, p+q , ... et qu'on aurait la meme chose à
la ligne q, avec q+1 , et q+p ... , on peut dire (?) que tous les couples
de pee appartiennent au tableau ?! (je crois qu'il manque quelque chose
dans mon raisonnement ?! je vois pas bien quoi.
La question qui me pose le plus de problème est la suivante :
On numerote les noeuds de l'arbre ligne par ligne de gauche à droite. (1,1)
a le numero 1, (2,1) le 3...
(x,y) a le numero n, on pose x = p_n et y = q_n
(p_6,q_6) = (2,3)
Pour n dans N*, u_n = (p_n)/(q_n)
On note [x] la partie entière de x.
On pose f(x) = 1/(1 + 2[x] - x) , j'ai montré que
*[x+k] = [x]+k (c'est simple ca non ?)
On me demande de montrer que:
pour n>= 1 ,f(u_n) = u_{n+1} ...
J'ai remarqué que q_n = p_n+1 , mais je vois pas quoi faire avec ... :(
(pour l'info, le but du DM est de montrer que N* et Q+* sont équipotents)
Merci de ce que vous pourrez faire pour moi.
Gho'