Approximation de n! pour n grand

[may prepa]

bonjour à tous, je viens d'intégrer ce forum...
J'ai un problème pour montrer l'égalité lnk < intégrale (de k à (k+1))(lnxdx) < ln(k+1).
J'ai calculé l'intégrale, je trouve int(lnxdx)= (k+1)ln(k+1)-kln(k) -1.
Puis je calcule les différences : lnk-[(k+1)ln(k+1)-kln(k) -1] et ln(k+1)-[(k+1)ln(k+1)-kln(k) -1] mais je n'arrive pas à prouver que (k+1)ln(k/(k+1))<1...et que kln(k/(k+1))>1...
Pourriez vous m'aider svp?

[trust]

fais un petit dessin, ça se verra tout de suite....

[vincent.pantaloni]

Faut pas calculer l'intégrale pour cette question, cela vient juste du sens de variation de ln. Pour x entre k et k+1 tu as:



Ensuite tu intègres cet encadrement sur un intervalle de longueur 1, d'où le résultat.

[may prepa]

ok merci pour le conseil je vais essayer ça!

[may prepa]

dans la suite de l'exercice je doit déduire de cette réponse que : nln(n)-n+1 < sommes(de k=1 à n ) ln(k) <(n+1)ln(n)-n+1.
Je m'aperçois que nln(n)-n+1 = int (de 1 a n )lnxdx mais je ne vois pas en quoi l'inégalité précédente peut nous aider à montrer cette inégalité...

[vincent.pantaloni]

dans la suite de l'exercice je doit déduire de cette réponse que : nln(n)-n+1 < sommes(de k=1 à n ) ln(k) <(n+1)ln(n)-n+1.
Je m'aperçois que nln(n)-n+1 = int (de 1 a n )lnxdx mais je ne vois pas en quoi l'inégalité précédente peut nous aider à montrer cette inégalité...

Fais la somme des tes inégalités pour k variant de 1 à n. Les intégrales se raboutent avec Chasles et tu as bien au centre int (de 1 a n )lnxdx. Ca devrait aider.

[zouba]

tu peux calculer l'intégrale de ln(x) par parties

[may prepa]

j'ai essayé mais en sommant toutes les inégalités , si on prend k variant de 1 à n on a int (de 1 à n+1) lnxdx et donc somme (des k =1 à n ) lnk < int(de 1 à n+1) lnxdx.
et en calculant en intégrant par partie je trouve : int(de 1 à n+1) lnxdx= (n+1)ln(n+1)-n.
Et à partir de là,je n'arrive pas à retrouver l'égalité demandée

[may prepa]

c'est bon en fait j'ai réussi à trouver merci pour tous les conseils