Applications surjectives, injectives

[Majaspique]

Bonjour,
je suis confronté à un exercice sur les applications :

Soient E, E', F, F' quatre ensembles.
Soient les applications :
u: E' -> E
v : F -> F'
définie par

a) Si u est surjective et v injective, alors est injective
Recherches :
Supposons u surjective et v injective. Montrons que est injective càd :
Soit . Montrons que
v est injective donc
u est surjective donc il existe
D'où f(y) = f'(y) donc f=f'.

b) si u est injective et v surjective, alors est surjective
Recherches :
Supposons u injective et v surjective. Montrons que est surjective càd :
Soit . Montrons qu'il existe
v est surjective donc , il existe
u est injective donc
Je bloque un peu plus ici..

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance !

[aviateur]

Bjr
J'ai regardé le a) . Les éléments sont là mais la démonstration n'est pas claire. Pour que la démonstration soit bonne il faut écrire les implications logiques dans le bon ordre.
C'est à dire commencer par supposer que f(x)=f'(x) ....

Pour le b) Pour tout y dans F', est non vide car v est surjective, ce qui permet de choisir pour chaque y un élément noté dans chaque ensemble u On a . Une fois cela fait

Soit g une application de E' vers F'. Pour tout x dans E' on pose y=g(x) (y est ds F').
On cherche f telle que v(f(u(x))=y=v(z_y)). On voit assez facilement comment terminer. je te laisse faire.....

[Ben314]

Salut,
Partant de ton application tu doit construire une application telle que (*).
Pour construire une telle application , ben tu part d'un de et il faut expliquer comment on "construit" le . Et si tu regarde de où vers où vont tes différentes fonctions, ben... tu as franchement pas le choix...

Et sinon, je confirme ce que vient de dire aviateur (que je vient juste de voir) : pour la question a), sur le principe, c'est à peu prés O.K., mais par contre, la façon de rédiger laisse plus que beaucoup à désirer (en particulier l'ordre dans lequel sont quantifiées tes variables).

(*) En LaTeX, le "o" de la composition de deux fonctions, c'est \circ qui fait bien plus clair que la lettre "o".

P.S. En regardant d'un peu plus prés, il y a une coquille dans l'énoncé : il faut supposer F non vide pour que ça marche.

[aviateur]

M^me chose je n'ai pas vu le message de @ben

[Majaspique]

Merci pour vos réponses. Voilà ce que j'obtiens pour la b :
Soit
Construisons telle que
Soit . v est surjective donc il existe .
On pose
Soit . u est injective donc si alors . D'où .
On pose
Donc on a bien
Je suppose que la rédaction laisse encore à désirer

[aviateur]

Non ça ne va pas et ça doit se voir que ça ne va pas. En effet tu dis " construisons f tel que ..." mais c'est quoi f?
Il faut que l'on voit quelque part que pour tout x dans E, ce que tu as choisit pour f(x).