Applications strictement convexes

par **egan** » 12 Fév 2013, 20:06

Salut tout le monde,

Quelqu'un aurait une idée de preuve pour montrer que les normes p sur Rp avec p plus grand que 1 et fini sont strictement convexes ?

Merci d'avance.

@+ Boris.

par **adrien69** » 12 Fév 2013, 21:19

J'ai bien une méthode, tu peux calculer sa matrice hessienne en un point quelconque et montrer qu'elle est symétrique définie positive, ce qui est une conditions suffisante de stricte convexité.

par **egan** » 12 Fév 2013, 21:42

Les valeurs absolues vont pas poser de gros problèmes dans le cas où p est impair ?

par **egan** » 19 Fév 2013, 23:39

Personne ?

par **egan** » 21 Fév 2013, 12:37

Personne d'autre n'a d'idée ?

par **Judoboy** » 21 Fév 2013, 22:30

Répondu trop vite.

par **egan** » 26 Fév 2013, 19:23

Je retente le coup une dernière fois. ^^

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 19:36

C'est faux ce machin là non?

||kx||=k||x|| donc la norme ne peut pas être strictement convexe.

par **egan** » 26 Fév 2013, 19:44

Pour la stricte convexité, la condition est la suivante:

Pour tout

dans ]0;1[ et x,y différents dans C, alors

Ce que tu proposes rentre dans le cas

égal 0 ou 1.

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 19:46

Ben non, prends lambda = 1/2 , x quelconque et y = 0

Alors || 1/2 x|| = 1/2 ||x||, or si l'on avait stricte convexité on devrait avoir une inégalité stricte entre les deux.

par **egan** » 26 Fév 2013, 19:50

Bien vu.
Effectivement, ça ne marche pas.

Si on définit ces normes sur des convexes ne contenant pas zéro, ça doit passer non ?

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 19:52

Ce n'est pas le fait que ça contienne 0 qui dérange mais le fait que la norme restreinte à une droite est linéaire, et une application linéaire a peut de chance d'être strictement convexe.

par **egan** » 26 Fév 2013, 20:12

Effectivement, en prennant x et y liés positivement, ça fait tout planter.

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