Applications de notions sur les matrices

[Rockleader]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir confirmation de quelque chose avant de continuer mon devoir. Je crois avoir entendu parler mon prof de "faire un damier" pour le calcul avec les matrices, changer le signe en fait. Mais je me demande si je n'ai pas confondu avec autre chose....du coup je ne suis pas sur de mon résultat.


Bref, j'ai une matrice :





J'ai tenté de calculer le déterminant de cette matrice: j'aimerais tout d’abord que l'on me confirme que l'on peut prendre n'importe quelle colonne, celle qui nous arrange, dans le doute, j'ai gardé la première.

Voici ce que j'ai fais, j'ai un doute au niveau du 2 ou -2 à cause de cette histoire de damier.




Voici ce que je trouve, y a t'il une erreur à cause d'un signe, pourquoi ?






Pour la suite, je dois calculer le rang de la matrice, je sais que cela correspond au nombre de pivot dans la réduction de Gauss, mais j'aimerais pouvoir retrouver le rang à partir de la matrice sans faire la résolution du système. Sauf que là aucune idée...je ne sais pas comment m'y prendre.



Par la suite j'ai d'autres études à mener mais j'aimerais déjà être sur d'avoir bien résolu ces deux premiers points.




Entre autre, une question ultérieure va me demander de considérer un système Sm = AmX = B avec B(a,b,c) (que je suppose être un point vu qu'il n'y a pas de précisions, ça paraîtrait pas logique autrement).

Si je ne me trompe pas je devrais retrouver en résolvant cette question le rang de ma matrice ?


Merci pour le coup de main

[Pianoo]

Bonsoir,

Tes signes sont bons par contre tu as mis un 1 à la place d'un 2 dans tes déterminants 2x2 :



Pour calculer le rang de la matrice tu peux considérer la famille des vecteurs colonnes et déterminer son rang, c'est à dire le nombre max de colonnes formant une famille libre (ici à discuter en fonction du paramètre), mais au final ça revient un peu au même que de faire du pivot de Gauss, la disposition en matrice est peut-être plus commode ... à voir ...

B(a,b,b) est un vecteur colonne.
Résoudre un système ne te donnera pas le rang de la matrice, ça te donnera un vecteur (ou des vecteurs ...) solution du système.

Là on te demande de trouver le rang parce que selon le rang de la matrice, l'ensemble des solutions du système sera différent.

[Rockleader]

Bonsoir,

Tes signes sont bons par contre tu as mis un 1 à la place d'un 2 dans tes déterminants 2x2 :



Pour calculer le rang de la matrice tu peux considérer la famille des vecteurs colonnes et déterminer son rang, c'est à dire le nombre max de colonnes formant une famille libre (ici à discuter en fonction du paramètre), mais au final ça revient un peu au même que de faire du pivot de Gauss, la disposition en matrice est peut-être plus commode ... à voir ...

B(a,b,b) est un vecteur colonne.
Résoudre un système ne te donnera pas le rang de la matrice, ça te donnera un vecteur (ou des vecteurs ...) solution du système.

Là on te demande de trouver le rang parce que selon le rang de la matrice, l'ensemble des solutions du système sera différent.

Erreur de ma part en recopiant au début, il y a bien un 1 à a première ligne de ma seconde colonne !

Désolé

[Rockleader]

Bon, alors dans mon cas j'ai 3 vecteur colonnes. Un paramètre commun m.

Pour voir si ces vecteurs colonnes forment une famille libre, je dois le étudier chacun indépendamment ?

Genre, la 1ère colonne avec la 2nde, le 1ère avec la troisième; la 2nde avec la troisième ?


Si je fais 1 et 2 j'ai

mx +y = 0
2x +my-y = 0
2x=0 ==> x=0

==> y=0
my-y=0

x et y valent 0. Donc la familles de vecteur colonnes 1 et 2 est libre. Et je fais le test pour chaque colonnes c'est bien ça ?

[Rockleader]

J'aurais vraiment besoin d'être aiguillé: j'ai donc testé la colonne 1 et 2. J'ai trouvé que c'était libre.
J'ai testé 2 et 3. J'ai trouvé que c'était libre; mais pas pour m=1.
J'ai testé 1 et 3 et impossible d'arriver au bout sans connaître m...



Donc après avoir fait ça qu'est ce que je dois en déduire pour le rang de ma matrice ? DU fait qu'il y est un système que je ne peux pas solutionner sans donner de valeur à m; et que l'autre soit résolu en donnant une valeur à m.


Voilà vraiment besoin d'un coup de main :hum:



En réalité, pour 1 et 3: le système n'est pas libre pour m=-2. Sinon, il est libre.


J'ai donc 1 système toujours libre.
Et également 2 système libre pour une valeur de m différente.

[Pianoo]

Bonjour,

Pour trouver le rang il y a plusieurs méthodes.

(1) Une est de travailler sur les colonnes de la matrice, on a la propriété suivante : "On ne change pas le rang d'une matrice en ajoutant à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes) de la matrice"
(Tu as sûrement vu cette propriété peut-être énoncée un peu différemment).
Cela revient à faire du pivot de Gauss et à obtenir une matrice échelonnée.

(2) Une autre méthode est de travailler avec le déterminant c'est ce que tu avais commencé.
Alors déjà ton résultat final n'est pas juste.
On trouve : déterminant = -(m+2)(m-1)²
à partir de là tu peux trouver le rang de la matrice pour certaines valeurs de m ... (tu as dû voir dans ton cours un lien entre déterminant et rang d'une matrice ... je te laisse faire)
ensuite il reste quelques valeurs particulières de m qui sont à étudier au cas par cas :
écrire la matrice avec la valeur de m, l'échelonner, regarder si on peut extraire un déterminant non nul de rang 2 etc ...

[Rockleader]

Pour ce qui est du rang je trouve que la matrice est de rang 2 pour m=-2 et m=1

Est ce juste ?



Pour ce qui et du déterminant, si je développe ce que tu as trouvé cela me fait -m^3-m-2
Or, j'ai fait et refait mes calculs et je ne trouve pas l'erreur, je trouve encore -m^3 +3m-2

Je ne vois pas où es mon erreur de calcul...

[Rockleader]

Pour ce qui est du rang je trouve que la matrice est de rang 2 pour m=-2 et m=1

Est ce juste ?



Pour ce qui et du déterminant, si je développe ce que tu as trouvé cela me fait -m^3-m-2
Or, j'ai fait et refait mes calculs et je ne trouve pas l'erreur, je trouve encore -m^3 +3m-2

Je ne vois pas où es mon erreur de calcul...

S'il vous plait j'ai vraiment besoin de comprendre où se situe l'erreur dans mon calcul du déterminant !

[Doraki]

développe -(m+2)(m-1)² jusqu'à ce que tu trouves -m^3+3m-2

dans ton premier post tu avais -m^3-3m-2, qui était faux.

[Rockleader]

développe -(m+2)(m-1)² jusqu'à ce que tu trouves -m^3+3m-2

dans ton premier post tu avais -m^3-3m-2, qui était faux.

Holàlà je suis vraiment étourdies...j'avais oublier un terme en développant...en fait c'est bien le même résultat; désolé...

ET pour le premier je sais pas c'était surement une faute de frappe de ma part ou alors j'ai rectifié sur mon brouillon en revenant dessus, je ne sais plus.

[Pianoo]

Pour ce qui est du rang je trouve que la matrice est de rang 2 pour m=-2 et m=1

Est ce juste ?

Pour ce qui et du déterminant, si je développe ce que tu as trouvé cela me fait -m^3-m-2
Or, j'ai fait et refait mes calculs et je ne trouve pas l'erreur, je trouve encore -m^3 +3m-2

Je ne vois pas où es mon erreur de calcul...

Sans le détail de tes calculs difficile de te répondre mais je vais t'écrire ce que j'ai fait :



j'ai soustrait la seconde colonne à la troisième colonne.
Ensuite je développe par rapport à la troisième ligne :

[Rockleader]

C'est bon j'ai le bon résultat et la bonne démarche la dessus.

Pour calculer l'inverse de ma matrice, j'ai calculé la comatrice, je l'ai transposé et j'ai multiplié par le déterminant, il y a peut être une erreur de calcul mais pour la démarche je suis ok.


Là j'ai un petit soucis pour poser une équation:

Am est la matrice donné en haut.
On me donne B = (a,b,c)

Et j'ai un système AmX = B

Sauf que j'ai pas de précisions sur X, du coup je sais pas trop comment poser mon système.
Est ce que je considère x comme un seul nombre auquel cas je multiplie toute la matrice par x, ou bien est ce que je considère x comme composé de x1,x2,x3 comme B...

Comment vous comprenez l'énoncé vous ? Sachant que le but est de donner les solutions du système en fonctions de toutes les variables a,b,c,m

[Pianoo]

Si x était un nombre, le produit Ax donnerait une matrice 3x3, or B est un vecteur 3x1, donc tu n'as pas le choix : X est un vecteur 3x1

X = (x, y, z), tu dois exprimer x, y et z en fonction de a, b, c et m.

[Rockleader]

Si x était un nombre, le produit Ax donnerait une matrice 3x3, or B est un vecteur 3x1, donc tu n'as pas le choix : X est un vecteur 3x1

X = (x, y, z), tu dois exprimer x, y et z en fonction de a, b, c et m.

Ok, merci beaucoup pour ton aide, je devrais pouvoir m'en sortir pour le reste.