Applications linèaires

[Hoda]

Bonjour
S'il vous plaît, pouvez-vous m'aider dans cette exercice?
On a f et g 2 endomorphismes de E tels que
f°g=Ide
On doit montrer que
Ker(g°f)=Ker(f) j'ai déjà fait cette question
Et :
Im(g°f)=Im(g) c'est cette question que j'arrive pas à la démontrer..
Merci d'avance

[Mateo_13]

Bonjour Hoda,

On doit montrer que
j'ai déjà fait cette question
c'est cette question que j'arrive pas à la démontrer.

Peux-tu nous écrire stp la solution que tu as déjà rédigée sur la 1ère question ?

Comme tu le sais maintenant, la méthode s'appelle la double implication.

1) Tu considères un élément quelconque et tu démontres que .
2) Tu considères en suite un élément quelconque et tu démontres que .

L'hypothèse doit te servir.

P. S. : linéaire prend un accent aigu, dans le titre.

Cordialement,
--
Mateo.

[Hoda]

Pour 1er question on va procéder par double implication:
Soit x€ker(g°f) , g(f(x))=0 ,f°g(f(x))=0 et donc f(x)=0 x€ker(f)
Soit x€ker(f) . f(x)=0 , g(f(x))=g(0)=0 et donc x€ker(g°f)

Mais je sais que la méthode est double implication mais j'arrive pas à l'appliquer dans la 2eme question

[Mateo_13]

Pour 1er question on va procéder par double implication:
Soit , donc , donc et donc donc
Soit donc donc et donc

Ton raisonnement est juste.

1) Soit donc il existe donc (...).

2) Soit donc il existe donc (...)

[Hoda]

Mais je sais pas comment raisonner de la même façon pour la question suivante
Merci^-^

[Mateo_13]

Je viens de modifier mon message précédent :

1) Soit donc il existe donc (...).

2) Soit donc il existe donc (...)

[tournesol]

Ta deuxième question est déstabilisante car elle contient une spécificité et une généralité .
La généralité c'est que Im (gof) est inclus dans Im(g) pour toute application f de E dans F et toute application g de F dans G . E , F , et G sont des ensembles non vide quelconques .

[Hoda]

Donc il rest seulment à démontrer que Im(g) est inclu dans Im(g°f) ?
Soit x€Im(g) , x=g(y) , f(x)=y , gof(x)=x et donc x€Im(g°f)

[Mateo_13]

Exact !

[Hoda]

Merci bcp ^-^