Applications linéaires

[OrsayMPI]

Bonjour à tous,

Concernant les applications linéaires, dans la définition il est dit qu'une application f est linéaire si et seulement si elle est stable par l'addition et stable par la multiplication.

Le fait qu'elle soit stable par l'addition n'implique par qu'elle soit stable par la multiplication ?
Si on a :

f(x + y) = f(x) + f(y)

alors avec une simple récurrence on peut en déduire f(x) = f(x) non ?

Merci d'avance

[OrsayMPI]

Ah non autant pour moi, j'ai compris mon erreur.

( D'ailleurs si quelqu'un pouvait m'expliquer comment supprimer une discussion ... )

[Ben314]

Je suis pas sûr que tu puisse supprimer tout un fil toi même (un modo peut le faire), mais tu peut supprimer un post...

Sinon, la remarque est pas si con que ça : si le corps sur lequel tu travaille est celui des rationnels Q ou un corps Z/pZ avec p premier, alors, effectivement, la stabilité pour l'addition implique la stabilité pour la multiplication externe.

Mais c'est faux pour un corps quelconque et comme les application les plus fréquentes de l'algèbre linéaire se font avec le corps des réels ou celui des complexes...

[SLA]

Je suis pas sûr que tu puisse supprimer tout un fil toi même (un modo peut le faire), mais tu peut supprimer un post...

Sinon, la remarque est pas si con que ça : si le corps sur lequel tu travaille est celui des rationnels Q ou un corps Z/pZ avec p premier, alors, effectivement, la stabilité pour l'addition implique la stabilité pour la multiplication externe.

Mais c'est faux pour un corps quelconque et comme les application les plus fréquentes de l'algèbre linéaire se font avec le corps des réels ou celui des complexes...

C'est d'autant moins bête que ça a été étudié dans le passé!
Disons, pour le moment, que ton espace vectoriel est . Alors en rajoutant une hypothèse supplémentaire (continuité ou continuité en 0, par exemple) alors ta propriété devient vrai.
Sinon, on en vient à regarder les -bases de : base de Hamel.

Cordialement