Applications linéaires et matrices

[gege37]

bonjour à tous,

voila mon problème, je cherche la solution à un problème et je coince bêtement sur la dernière question. Voici l'énoncé :
" Soit g : R²==>R² une application linéaire telle que g(i)=i+2.j = I et g(j) = -2.i+j = J."

-Dans un premier temps j'ai donné la matrice M dans la base (i,j) = (1 -2 ; 2 1).

-Ensuite, j'ai démontré que (I , J) est une base de R².

-Après j'ai démontré que g est une bijection, "c'est-à-dire que pour tout vecteur V = (a,b) de R², il existe un unique vecteur v de R² tel que g(v)= V. On note v = g-1(V) "

-Enfin j'ai trouvé la matrice inverse de M : N = (1/5 2/5 ; -2/5 1/5)


==> La dernière question est " Quelle est la matrice de g-1 dans la base (I, J) ,"
honnêtement je ne vois pas trop comment faire même si je pense que la réponse est soit la matrice M soit la matrice N.

En tout cas merci à tous ceux qui me répondront car je suis vraiment perdus.

[Nightmare]

Salut,

Dans le cas général, une matrice dépend de la donnée de deux bases, celle d'arrivée, et celle de départ.

Lorsque tu as dans un premier temps donné la matrice de M dans la base (i,j) c'est en considérant (i,j) comme base de départ et d'arrivée dans R².

Lorsque tu as calculée l'inverse de M, a priori, c'est dans cette même base d'arrivée et de départ. Pour avoir la matrice de M dans la base (I,J), il te faut utiliser la matrice de passage de (i,j) à (I,J). Quel calcul faire alors? (C'est normalement écrit dans ton cours, à changement de bases)

[gege37]

Bah justement je me disais que la matrice de passage c'était la matrice N mais cela voudrait dire que la matrice de g-1 serait la matrice identité.

[Nightmare]

La matrice de passage serait N? En quoi la matrice de passage de (i,j) à (I,J) serait-elle reliée à la matrice de g?

[gege37]

alors la j'avoue que je ne sais pas :id:
donc cela veut dire qu'il me manque la matrice de passage entre les deux bases mais là je dois bien avouer que je ne sais pas vraiment comment la trouver.

[benekire2]

Salut ,

La matrice de changement de base B vers une base B' est , la matrice des coordonnées de B' dans la base B.