[MP] Applications linéaires continues

[euler21]

Bonsoir
Je demande s'il existe une caractérisation des applications continues à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie à l'aide d'une base de F.
Si oui c'est quoi cette caractérisation ??
Merci pour vos réponses

[euler21]

Personne n'a une idée ?? :triste:

[bentaarito]

je pense que c'est un peu trop demandé là car si une telle caractérisation existait
on n'aura plus besoin de toute l'artillerie lourde qu'on a déja pour résoudre ce probleme dans le cas ou F=R² ( quoi dire si dim(F) est encore plus grand)
bonne chance. :triste:

[Ben314]

Salut,
Si F est une fonction d'un espace topologique X dans un espace vectoriel (réel) normé F de dimension n et de base (e1,e2,...,en) alors F s'écrit :
x->F(x)=f1(x).e1+f2(x).e2+...+fn(x).en
où f1,f2,...,fn sont des fonctions de X dans R et on a :
F est continue ssi toutes les fonctions f1,f2,...,fn le sont.
(ce qui est une caractérisation... on ne peut plus simple)

Je pense que bentaarito confond avec le cas des applications dont l'ensemble de départ est R² ou R^3 là où ne risque pas de caractériser gras avec une base de l'espace de départ (à moins bien entendu que l'application ne soit linéaire...)

[euler21]

Bonsoir
Je demande ce truc parce qu'il figure comme acquis dans le programme officiel des classes préparatoires. Voici le lien http://prepas.org/ProgrammesCPGE/MathematiquesMP.pdf
page 21 Partie 2 Espaces vectoriels de dimension finie
sous partie a) Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

[Ben314]

Il est effectivement extrèmement classique (et extrèmement simple à démontrer) qu'une fonction f de R->R² ; t->(x(t),y(t)) est continue ssi les fonction R->R ; t->x(t) et t->y(t) sont continues.

Par contre là où je sais pas si tu t'embrouille pas complètement, c'est le mot "linéaire" qui apparait dans le titre de ton topic et qui n'a absolument rien à voir avec ta question...

[euler21]

Oui Ben tu as raison
Merci pour l'éclaircissement