Applications linéaires continues / normes

[Supernova]

Salut à tous!

Je voudrais vérifier si j'ai la bonne réponse ou pas pour cet exo:

Enoncé: soit A C IR.. trouver une CNS pour que P-->sup|P(x)| tq x £ A soit une norme de IR[X]. Cette condition étant sipposée réalisée, à quelle condition l'application linéaire P -->P(0) est-elle continue?

Et voici mon bruyant:
On note N: P-->sup|P(x)|, supposons qu'il s'agit d'une norme sur IR[X], alors si N(P)=|sup P(x)|=0 on doit avoir P=0 donc A est dense ou femée dans IR (pour que P admette une infinité de racines donc soit nul)
Récip, si A est dense ou fermée il est facile prouver que N est une norme sur IR[X].
Supp que A est dense ou fermée dans IR,
f:P-->(0) est bien une application linéaire,
on a f est continue ssi il existe k £ IR+ tq |f(P)| <= k N(P) ssi |P(0)| <= k sup |P(x)| où x £ A
or ceci est vrai pour tout k >=1

Je suis sûre qu'une grande partie de ce raisonnement est mal rédigée voire fausse, pour cela j'en profite pour demander votre aide afin de la corriger.

[raito123]

Bonsoir,


Je ne suis pas d'accord avec toi :

Pour la première question et si A était un ouvert par exemple ]1,2[ est-ce que sup|P(x)|=0 n'implique pas que P=0 ( biensur le sup tq x parcourt A ) ?? et pourtant A n'est ni dense ds IR ni fermé.

Pour la seconde question et si 0 n'appartenait pas à A ? c'est clair dans ce cas qu'on ne peut pas comparer |P(0)| et sup|P(x)| : par exemple P=-x+1 et A=[1/2,1] on a sup|P|=1/2 et pourtant P(0)=1 !!

[Supernova]

Bonsoir,


Je ne suis pas d'accord avec toi :

Pour la première question et si A était un ouvert par exemple ]1,2[ est-ce que sup|P(x)|=0 n'implique pas que P=0 ( biensur le sup tq x parcourt A ) ?? et pourtant A n'est ni dense ds IR ni fermé.

Pour la seconde question et si 0 n'appartenait pas à A ? c'est clair dans ce cas qu'on ne peut pas comparer |P(0)| et sup|P(x)| : par exemple P=-x+1 et A=[1/2,1] on a sup|P|=1/2 et pourtant P(0)=1 !!

Oui t'as raison, pour la première question il faut que A soit bornée pour qu'on puisse définir le sup et qu'elle soit infinie tout simplement pour que P soit nul si sa norme l'est.
Pour la question suivante, pour que f: P-->P(0) soit continue on doit trouver une cte C positive pour laquelle |P(0)|<= sup |P(x)| x dans A, donc le 0 doit appartenir à l'adhérence de A, j'ai pu mq c une CN mais j'ai pas réussi à mq'elle est suffisante, si on suppose par l'absurde que 0 n'appartient pas à l'adhérence comment trouver une contradiction ?

Merci

[raito123]

Tu peux faire un raisonnement direct : si 0 appartient à A alors surement |P(0)|<= sup|P(x)| , non ?

[Supernova]

Tu peux faire un raisonnement direct : si 0 appartient à A alors surement |P(0)|<= sup|P(x)| , non ?

Oui! mais est-ce qu'on a la réciproque?

[Matt_01]

Ben premièrement, si 0 n'est pas dans l'adhérence de A, on a un intervalle [-eps;eps] d'intersection vide avec A.
Maintenant, s'il avait fallu montrer la non existence de cette constante pour les fonctions continues, comment ferais tu ?
Et comment alors passer des fonctions continues aux polynomes ?

[Supernova]

Ben premièrement, si 0 n'est pas dans l'adhérence de A, on a un intervalle [-eps;eps] d'intersection vide avec A.
Maintenant, s'il avait fallu montrer la non existence de cette constante pour les fonctions continues, comment ferais tu ?
Et comment alors passer des fonctions continues aux polynomes ?

VOICI une indication que mon prof nous a donné: On raisonne par absurde
puisque 0 n'est pas dans l'adhérence, d = d(0,A) > 0
comme A est bornée il existe b positif tq |x| < b pour tout x dans A
ensuite on construit le polynôme P de degré 1 tq P(d^2) = 1 et P(b^2) = 1/2
on retrouve ce polynôme de la forme P= ax + b et on pose P_n= P^n
Mais perso, j'ai pas compris comme utiliser cette indication :/ si t'as une idée je te prie de me la faire comprendre

Merci