[DEUG 1° Année] Applications - Injection

[Anonyme]

Bonjour,

Je reprends le programme de DEUG pour ne pas trop perdre la main.
J'utilise des exos corrigés. Et sur un exercice je trouve une autre démo que
celle proposée dans la correction. Donc je vous demande votre avis.

Je dois montrer:
Soit f application de E dans E tel que, pour tout h et g
applications de E dans E on a :
fog = foh => g = h.
Alors f injective.

La correction propose une démonstration assez longue en utilisant la
contraposé de la propriété à montrer.

J'ai utilisé ceci:

On veut montrer f injective:
Soit (x,y) de E*E, tel que f(x) = f(y), montrons que x = y.
Définissons l'application j de {x} dans {y} (donc de E dans E)
tel que j(x) = y.
Soit Id l'application identité de E dans E.
Alors f(x) = f(y) => f[Id(x)] = f[j(x)] => (foId)(x) = (foj)(x)
avec Id et j applications de E dans E
Donc Id(x) = j(x) par hypothèse.
Et finalement x = y par définition de Id et j.
Donc f injective.

Merci de votre aide.

Rv

[Anonyme]

On Tue, 13 Jul 2004 11:26:00 +0200, Rv wrote:
>Bonjour,
>
> Je reprends le programme de DEUG pour ne pas trop perdre la main.
>J'utilise des exos corrigés. Et sur un exercice je trouve une autre démo que
>celle proposée dans la correction. Donc je vous demande votre avis.
>
> Je dois montrer:
> Soit f application de E dans E tel que, pour tout h et g
>applications de E dans E on a :
> fog = foh => g = h.
> Alors f injective.
>
> La correction propose une démonstration assez longue en utilisant la
>contraposé de la propriété à montrer.
>
> J'ai utilisé ceci:
>
> On veut montrer f injective:
> Soit (x,y) de E*E, tel que f(x) = f(y), montrons que x = y.
> Définissons l'application j de {x} dans {y} (donc de E dans E)
>tel que j(x) = y.
> Soit Id l'application identité de E dans E.
> Alors f(x) = f(y) => f[Id(x)] = f[j(x)] => (foId)(x) = (foj)(x)
>avec Id et j applications de E dans E
> Donc Id(x) = j(x) par hypothèse.
> Et finalement x = y par définition de Id et j.
> Donc f injective.

Désolé, mais il y a une erreur dans cette demonstration : l'hypothèse
est fog = foh => g = h. Mais tu as utilisé le fait que fog(x)=foh(x) =>
g(x)=h(x), ce qui n'est pas équivalent au précédent fait. (Il manque un
quantificateur universel).

D'autre part, il existe un flottement sur la définition d'application,
mais si on impose aux application d'être définies partout sur leur
domaine de définition, alors ta fonction j va de {x} dans E, mais n'est
pas une application de E dans E.

En suivant ton idée, voici une version corrigée :

On prend x, y dans E, avec f(x) = f(y). On définit j: E -> E,
telle que si z différent de x, alors j(z)=z, et d'autre part j(x)=y.
Alors maintenant, soit z quelconque dans E.
* si z = x, alors f(j(z)) = f(j(z)) = f(y) = f(x)
* si z différent de x, alors f(j(z)) = f(z) = (f o Id)(z).

Cette fois-ci on a bien prouvé que foj = foId, donc j = Id.
En particulier, j(x) = Id(x) donc x=y. Qed.

--
Frédéric

[Anonyme]

"Frederic" a écrit dans le message de
news:slrncf7bgl.l5u.beal@clipper.ens.fr...
> On Tue, 13 Jul 2004 11:26:00 +0200, Rv wrote:[color=green]
> >Bonjour,
> >
> > Je reprends le programme de DEUG pour ne pas trop perdre la main.
> >J'utilise des exos corrigés. Et sur un exercice je trouve une autre démo[/color]
que[color=green]
> >celle proposée dans la correction. Donc je vous demande votre avis.
> >
> > Je dois montrer:
> > Soit f application de E dans E tel que, pour tout h et g
> >applications de E dans E on a :
> > fog = foh => g = h.
> > Alors f injective.
> >
> > La correction propose une démonstration assez longue en utilisant la
> >contraposé de la propriété à montrer.
> >
> > J'ai utilisé ceci:
> >
> > On veut montrer f injective:
> > Soit (x,y) de E*E, tel que f(x) = f(y), montrons que x = y.
> > Définissons l'application j de {x} dans {y} (donc de E dans[/color]
E)[color=green]
> >tel que j(x) = y.
> > Soit Id l'application identité de E dans E.
> > Alors f(x) = f(y) => f[Id(x)] = f[j(x)] => (foId)(x) =[/color]
(foj)(x)[color=green]
> >avec Id et j applications de E dans E
> > Donc Id(x) = j(x) par hypothèse.
> > Et finalement x = y par définition de Id et j.
> > Donc f injective.
>
> Désolé, mais il y a une erreur dans cette demonstration : l'hypothèse
> est fog = foh => g = h. Mais tu as utilisé le fait que fog(x)=foh(x) =>
> g(x)=h(x), ce qui n'est pas équivalent au précédent fait. (Il manque un
> quantificateur universel).
>
> D'autre part, il existe un flottement sur la définition d'application,
> mais si on impose aux application d'être définies partout sur leur
> domaine de définition, alors ta fonction j va de {x} dans E, mais n'est
> pas une application de E dans E.
>
> En suivant ton idée, voici une version corrigée :
>
> On prend x, y dans E, avec f(x) = f(y). On définit j: E -> E,
> telle que si z différent de x, alors j(z)=z, et d'autre part j(x)=y.
> Alors maintenant, soit z quelconque dans E.
> * si z = x, alors f(j(z)) = f(j(z)) = f(y) = f(x)
> * si z différent de x, alors f(j(z)) = f(z) = (f o Id)(z).
>
> Cette fois-ci on a bien prouvé que foj = foId, donc j = Id.
> En particulier, j(x) = Id(x) donc x=y. Qed.
>
> --
> Frédéric[/color]


Merci Frederic, je vois bien la grosse bourde sur fog(x) = foh(x) => f(x) =
g(x).
Pour la définition de j j'avais vu le "flou" mais je croyais que ça pourrait
passer. Mais non vu la remarque précédente puisqu'il faut foId(x) = foj(x)
pour tout x de E

Bon il va vraiment falloir que j'entretienne! Il est bien ce forum!

A+

Rv