Applications / Espaces vectoriels

par **Florix** » 01 Fév 2006, 23:33

Bonjour,

Me voilà encore avec un excercice ! Si qqn pouvait m'aider, ou me donner des pistes ! Merci d'avance! (je comprends pas bien la notion d'application, je connais la définition mais concretement je vois pas ce que c'est)

On désigne par D1(R,R) l'ensemble des applications dérivables sur R. On considère les ensembles

[CENTER]S = { f appartient à D1 (R,R) / f ' (x) - 2 f(x) = 8 x ^2 - 8 x }[/CENTER]

[CENTER]H = { f appartient à D1(R,R) / f ' (x) - 2 f(x) = 0 }[/CENTER]

1/ S et H sont-ils des espaces vectoriels sur R (je n'ai pas envie de me lancer dans les sous-espaces vectoriels, comment faire avec les familles génératrices ?)

2/ On considère la fonction g définie par g(x) = e^(2x) . Démontrer que H = vect(g)

Indication : on sera amené à poser h = u x g et montrer que
[CENTER]h appartient à H ssi u est une fonction constante[/CENTER]

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 00:57

euh je suis un peu concon mais déjà pour S, tu sais que la fonction nulle ne marche pas, donc c'est plutôt loupé pour S... non ? :hein:

par **Florix** » 02 Fév 2006, 00:59

Euh.... je comprends pas le message !

Ou est la fonction nulle ? :marteau:

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:01

pour H, en passant par la caractérisation des sev la vérification semble immédiate en prenant une cl de deux fonctions de H ...
avec les familles génératrices, dunno
si je dis n'importe quoi dis le tout de suite, c'est assez fréquent...

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:05

hum (petite voie tremblotante de celle qui sens qu'elle va sortir une énormité) ben euh j'avais cru comprendre qu'un sev d'un ev E contenait OE .. (en l'occurence la fonction nulle ?!?)

par **Florix** » 02 Fév 2006, 01:05

Euh serait je stupide ??? Je comprends toujours pas !

Parce qu'en fait déjà on a pas d'equation d'espace vectoriel, donc je me demande pourquoi je voulais passer par les sous espaces vectoriels (mmm... j'ai pas la souvenance) bref faudrait m'expliquer pour la fonction nulle (n'ayez pas peur de me parler comme à un débile, car pour comprendre les maths faut me parler de manière simple, claire et efficace !)

Donc du coup on peut ni faire avec les SEV ni les familles génératrices ?? COmment donc faire ?

Oui pour montrer qu'on a affaire à un espace vectoriel, il suffit de montrer que son SEV ou que cet EV est différent de 0, et on vérifie donc que le vecteur nul (ou la fonction nulle) appartient à cet EV ou SEV ! Ceci dit ici on pas la formule de l'EV donc comment tu vérifies avec la fonction nulle ? Et pusi de toute façon c'est pas la seule condition donc bon je pense qu'il s'agit d'une autre méthode !

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:15

Et pour la suite (attention ceci est une suggestion qui peut fort bien se réveler complètement fausse) :

d'abord tu montres que g appartient à H ( g'(x) = 2e^2x )
ensuite tu prends h de H comme indiqué
tu dérives h et tu utilises l'équation
tu obtiens : 2u(x)e^2x = u'(x)e^2x + 2u(x)e^2x
d'où tu tires u'(x) = 0 . x est quelconque, donc u cste
et inversemment, h pris avec u cste appartient bien à H

ça marche parce que tu peux prendre h quelconque même en posant h=u*g. enfin je crois ...

une fois que tu as ça, ben c'est bon puisque toute fonction de H est de la forme k*g, avec k cste de R. d'où le résultat ... non ?

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:17

ben si parce que avec la définition de H et S tu as la condition que doivent remplir les fonctions de H et S, non ?!?! (ou alors je n'ai rien compris...)

ah et si tu as le droit de dériver h, c'est parce qu'elle est prise dans D1(R,R)

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:19

et oui ce n'est pas la seule condition. d'où le fait de prendre une cl de fonctions de H et de vérifier si elle appartient à H (stabilité par combinaison linéaire) ...
mais bon tant qu'à faire, pour S, autant ne pas s'embêter à calculer ça si déjà à la base S ne contient pas la fonction nulle... non ?

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:21

S = { f appartient à D1 (R,R) / f ' (x) - 2 f(x) = 8 x ^2 - 8 x }

j'ai simplement vérifié que la fonction nulle ne remplit pas cette condition :
dérivée, c'est toujours la fonction nulle, et donc avec x quelconque, on n'obtient pas 8x^2 - 8x ... me fourvois-je ?

par **Florix** » 02 Fév 2006, 01:24

Pff à vrai dire mon niveau lamentable en maths ne me permet pas de répondre à ta question !

Si qqn pouvait nous aider :D !

par **abcd22** » 02 Fév 2006, 01:29

D1(R,R) est un espace vectoriel sur R (ça doit être dans les exemples de cours, non ?), donc pour savoir si S et H sont des espaces vectoriels il suffit de regarder si ce sont des sous-espaces vectoriels de D1(R,R), c'est ce qu'a fait Non-inscrite.
Un espace vectoriel n'est pas forcément une droite, un plan... de R^n (qu'on peut définir avec des équations), ça peut être beaucoup plus gros, comme D1(R,R).

par **Non-inscrite** » 02 Fév 2006, 01:35

Donc au moins dans l'idée ça marche bien, et je ne vais donc pas me sentir obligée de relire mon cours d'algbre lin. de la cave au grenier, alleluia gloria....
Bon courage ! (et attention aux erreurs que j'ai du laisser dans mes msgs)

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