Applications de IR² dans IR

[capitaine nuggets]

Bonjour, le cours et les exos me paraissant un peu confus, j'aimerais savoir comment démontrer de manière générale qu'une application est continue en un certain point .

Par exemple si on prends la fonction suivante :

.

est définie sur .

Mais je ne vois pas comment montrer que est continue.

[barbu23]

Salut : :happy3:
On applique le changement de variables suivant :

On trouve :

C'est à dire :

Continue le travail. :happy3:
Si , alors . :happy3:

[capitaine nuggets]

J'ai pas encore vu les coordonnées polaires malheureusement.
Je sais qu'il y a une méthode avec les suites, et une autre je crois, avec des inégalités...

[Luc]

Bonjour, le cours et les exos me paraissant un peu confus, j'aimerais savoir comment démontrer de manière générale qu'une application est continue en un certain point .

Il faut montrer que f(x,y) tend vers f(x_0,y_0) quand (x,y) tend vers (x_0,y_0). (pour une norme sur fixée.)

Par exemple si on prends la fonction suivante :

.

est définie sur .

Mais je ne vois pas comment montrer que est continue.

Regarde séparément les cas (x,y)=(0,0) et son contraire.

[capitaine nuggets]

Il faut montrer que f(x,y) tend vers f(x_0,y_0) quand (x,y) tend vers (x_0,y_0). (pour une norme sur fixée.)



Regarde séparément les cas (x,y)=(0,0) et son contraire.

Donc si je te suis bien, je dois partir de et montrer que ca converge vers .
Mais je ne comprends pas comment faire.

[Luc]

Donc si je te suis bien, je dois partir de et montrer que ca converge vers .
Mais je ne comprends pas comment faire.

Pour montrer la continuité en (0,0), oui.
Pour comment faire : cherche à majorer la norme de f(x,y). Or, majorer un quotient, c'est majorer le numérateur et minorer le dénominateur. Je te laisse chercher. (cela revient plus ou moins ce que barbu23 a fait).

[capitaine nuggets]

donc .
Par contre, le dénominateur, à part , je n'arrive pas à trouve un meilleur minorant.

[Luc]

donc .
Par contre, le dénominateur, à part , je n'arrive pas à trouve un meilleur minorant.

Il faut comprendre ce qui se passe : le numérateur tend vers 0, le dénominateur aussi. On a donc une forme indéterminée 0/0. Il faut lever l'indétermination en montrant que le numérateur est un infiniment petit d'ordre supérieur au dénominateur. Si tu minores le dénominateur par 0, c'est foutu, tu perds toute l'information.

[capitaine nuggets]

Il faut comprendre ce qui se passe : le numérateur tend vers 0, le dénominateur aussi. On a donc une forme indéterminée 0/0. Il faut lever l'indétermination en montrant que le numérateur est un infiniment petit d'ordre supérieur au dénominateur. Si tu minores le dénominateur par 0, c'est foutu, tu perds toute l'information.

Nam, je vois vraiment pas comment faire...

[capitaine nuggets]

Il faut comprendre ce qui se passe : le numérateur tend vers 0, le dénominateur aussi. On a donc une forme indéterminée 0/0. Il faut lever l'indétermination en montrant que le numérateur est un infiniment petit d'ordre supérieur au dénominateur. Si tu minores le dénominateur par 0, c'est foutu, tu perds toute l'information.

Nam, je vois vraiment pas comment faire...

est un infiniment petit d'ordre supérieur au dénominateur.

Je ne vois pas bien ce que tu essaies de me dire...

[Luc]

Nam, je vois vraiment pas comment faire...


Je ne vois pas bien ce que tu essaies de me dire...

Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur. Donc le quotient tend vers 0.

Ce sont les mêmes raisonnements que pour les croissances comparées (entre logarithme, fonction polynomiale et exponentielle) en terminale.

[capitaine nuggets]

Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur. Donc le quotient tend vers 0.

Ce n'est pas trivial pour moi.
J'aimerais bien savoir pourquoi et comment tu fais pour le voir.

[Luc]

Ce n'est pas trivial pour moi.
J'aimerais bien savoir pourquoi et comment tu fais pour le voir.

C'est justement ce qu'il faut démontrer! C'est normal de ne pas le voir.

[capitaine nuggets]

C'est justement ce qu'il faut démontrer! C'est normal de ne pas le voir.

J'arrive à montrer quelque chose avec f(x,x) et f(y,y) mais, je ne sais pas si ca marche pour montrer la continuité.

[Luc]

J'arrive à montrer quelque chose avec f(x,x) et f(y,y) mais, je ne sais pas si ca marche pour montrer la continuité.

C'est un début : ça peut donner une intuition. Malheureusement cela ne suffit pas. En fait, même si tu montres que f(x+ky,x+ky) tend vers 0 pour tout k, cela ne suffira pas : la continuité suivant toute direction n'est pas suffisante, car on peut "s'enrouler" autour du point avec des vitesses différentes suivant les directions.

En revanche, il faut toujours partir sur l'idée de minorer le dénominateur. Une piste :

[capitaine nuggets]

ça peut donner une intuition.
(...)
En revanche, il faut toujours partir sur l'idée de minorer le dénominateur. Une piste :

Ca peut donner une fausse intuition ?

, mais le au dénominateur me gêne :mur:

[Luc]

Ca peut donner une fausse intuition ?

, mais le au dénominateur me gêne :mur:

et si tu factorisais par ? C'est pour ça que je te disais que c'est le même raisonnement que les croissances comparées : on factorise toujours par le terme dominant. Quand tu verras les développements limités, cette remarque prendra tout son sens.

[capitaine nuggets]

et si tu factorisais par ? C'est pour ça que je te disais que c'est le même raisonnement que les croissances comparées : on factorise toujours par le terme dominant. Quand tu verras les développements limités, cette remarque prendra tout son sens.

En factorisant par :

[Luc]

En factorisant par :

Ce n'est pas l'expression de .

[capitaine nuggets]

Ce n'est pas l'expression de .