Applications Avec Complexes, interjection, surjection.

[Salutedu38]

Bonjour, je viens juste chercher un peu d'aide pour un exercice sur les fonctions.
On a :
f : C \ {2i} -> C
z |---> z²/(z-2i)

Soit k appartenant à C, combien admet-il d'antécédents ?
Pour cette question on résoud z²/(z-2i)=k
z²/(z-2i)=x+iy ? mais je n'arrive a rien.

Sinon f est elle surjective ? injective ?

Merci d'avance

[Ben314]

il n'est pas utile (voir même nuisible) d'écrire k=x+iy.
l'équation que tu dois résoudre (i.e. f(z)=k où z est l'inconnu et k un paramètre, c'est à dire que tu fait comme si tu le connaissait) peu se ramener à une équation du second degrés (en z évidement).
Ensuite tu dois savoir comment on détermine le nombre de solutions d'une équation du second degrés (attention, les coeffs sont dans C et on cherche les solutions dans C...)

[Salutedu38]

heu oui c'est vrai parce que avec x+iy sa fait compliqué mais bon j'obtiens bien un polynome en z.
En fait dans la questien précédente je dois déterminer f(z)=1+i et j'obtient :
z²-(1+i)z+2i-2=0
donc avec k on obtient la même sorte d'equation donc on calcule le discriminant et on voit après si je ne me trompe pas ...
Dans le cas où z²-(1+i)z+2i-2=0 j'ai determinant = -6i+8 ..

[Ben314]

C'est parfaitement juste.
Qu'en déduit tu (vu la valeur du déterminant) ?

[Salutedu38]

Et ben c'est négatif donc 2 solutions complexes.
Mais bon pour faire la question avec k je pensais qu'il fallait distinguer les cas possibles mais sa m'a l'air compliqué.

[Ben314]

C'est un peu ce que je craignais...
DANS C, IL N'Y A PAS DE RELATION D'ORDRE (c'est ce que le prof. n'arrête pas de répéter...) donc DELTA>0 NE VEUT RIEN DIRE...
Pour les équations du second degré dans C (c'est à dire lorsque l'on cherche les solutions dans C) la "régle" est plus simple que dans R :
Soit le discriminant est nul et il n'y a qu'une solution,
Soit il est non nul et il y a deux solutions.

(donc, même avec "k" il n'y a pas beaucoup de "cas")

[Salutedu38]

Oui oui je le sais sa en plus ... non ben j'ai delta = -6i+8 donc on pose petite delta²=-6i+8 et on passe par x+iy.

Sa sa va aller.

Merci et pour surjective et injective je vais regarder ça

[Ben314]

Une petite remarque :
On ne te demande pas de trouver les antécédents mais seulement de dire combien il y en a, donc donc donc....

[Salutedu38]

Oui oui je sais non mais pour la questien précédente pour une valeur bien précise ;)