Application

[naru2]

bonjours, je bloque sur la résolution d'un exercice.
on considère les application f et g.
1) on suppose que g(f(x)) est injective, montrer que f est injective?
pour cette question j'ai dit que si f(x)=f(x') alors en prenant g des deux coté j'ai x=x'

2) montrer que si on suppose également que f est surjective, alors g est injective?
je bloque à cette 2ème questions

[MacManus]

Bonjour,

2)
On considère f : E --> F et G : F --> G deux applications

Soient deux éléments a et b de F, tels que g(a)=g(b).
On suppose que f est surjective: il existe alors deux éléments x et y de E tels que f(x)=a et f(y)=b
Ainsi, on a : gof(x) = g(a) = g(b) = gof(y)
Or, gof est injective
Donc x = y
Ce qui implique que f(x) = f(y)
Donc a = b

On a donc montré que g est injective.