Application non-linéaire

[foruning]

Bonsoir,

Je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me donner un exemple d'application non-linéaire de K[X] vers K ?
Et de me décrire par la même occasion les étapes de raisonnement pour construire cet exemple car je bloque un peu.

Merci d'avance!

[egan]

Un truc du genre à un polynôme P tu associes devrait le faire.

Sinon et ça se voit tout de suite . Celle-là est clairement non linéaire car si tu l'évalues en le zéro de , soit 0, tu trouves 1 qui n'est pas égal à 0.
La propriété sous jacente est:

Une application linéaire est toujours nulle en zéro.

[foruning]

Merci pour ta réponse mais je ne comprends pas ce que tu veux dire par "tu l'évalues en le zéro de K[X] , soit 0, tu trouves 1 qui n'est pas égal à 0."

Si j'applique ton exemple, j'ai: A(P(x))= P(0)+1. Pour qu'elle ne soit pas linéaire, il faut avoir .

Comment faire pour appliquer cette inégalité?

[egan]

Ta condition n'est pas obligée d'être vraie pour tout a,b,x,y. Il suffit qu'elle soit vraie pour un quadruple a,b,x,y.
C'est typiquement avec cette condition que tu montrerais que la première application que je t'ai proposé n'est pas linéaire. Il te faudrait exhiber la quadruple a,b,x,y.
Pour la deuxième application tu peux faire plus court. Tu sais que si f est linéaire de E dans F, deux espaces vectoriels, alors f(0_E) = 0_F. Ici E c'est K[X] et F c'est K. Le zéro de K[X] c'est le polynôme nul et le zéro de K c'est 0.