Application Monotone

par **Joker62** » 27 Mai 2008, 16:58

Hello tout le monde !

J'ai un tit soucis point de vue topologie :(
J'ai revu un prof aujourd'hui et il fait un tit blocus aussi :(
Donc forcément, j'me suis remis dedans un peu quand même et j'ai pas réussi grand chose...

La question est la suivante :
Montrer qu'une application ouverte de R dans R est monotone...

J'ai tout retourné...
J'ai voulu tenté l'absurde, mais la seule condition nécessaire que j'ai trouvé à la monotonie reste la définition et j'ai un problème de continuïté sur la fin de la rédaction donc voilà j'ai pas trop avançé.

Si vous aviez une piste ça serait sympa.
Merci à tous.

par **tize** » 27 Mai 2008, 17:29

Salut Joker,
je pense qu'il faut rajouter une hypothèse de continuité, non ?

est ouverte non ?

par **ThSQ** » 27 Mai 2008, 17:30

Si f pas monotone (et continue), il existe ]a,b[ tel que (par exemple, ça peut être l'inf et c'est pareil)

et

(ou bien l'inf). Quelle est f(]a,b[) alors ?

par **Joker62** » 27 Mai 2008, 18:30

Hummm alors merci pour votre participation.

En effet il semblerait que la continuïté soit une condition nécessaire.
Je pense comme Tize que son application est bien ouverte.

Suffit de voir que si on prend un ouvert de R alors soit il contient un réel de la forme ;)/2 + k;) soit non.
Dans le premier cas on aurait que l'image vaut R et dans le deuxième on aurait bien un ouvert.

Et vui avec la continuïté en plus forcément ça devient plus simpliste.
f(]a;b[) = ] min(f(a), f(b)) ; sup f ] qui n'est pas ouvert.

Merci à vous deux pour les précisions.

par **ThSQ** » 27 Mai 2008, 21:22

comme autre contrex il y a aussi les fonctions pathologiques (comme la fonction de Lebesgue ou toute solution non continue de l'équation de Cauchy) qui envoient tout intervalle non vide (et non réduit à un point) sur IR complet.

par **Joker62** » 28 Mai 2008, 15:44

Hummm :(
avec l'application de Tize :

f( ]-;)/4 ; 3;)/4[ ) = ]-oo;-1[ U {0} U ]1;+oo[

Par contre, je ne connais pas la fonction de Lebesgue :^) où ces fonctions pathologiques:^)

par **tize** » 28 Mai 2008, 19:14

Salut !

Joker62 a écrit:Hummm
avec l'application de Tize :
f( ]-;)/4 ; 3;)/4[ ) = ]-oo;-1[ U {0} U ]1;+oo[

Non, je ne pense pas...

Joker62 a écrit:Par contre, je ne connais pas la fonction de Lebesgue :^) où ces fonctions pathologiques:^)

L'ensemble tri adique de Cantor peut être définit comme la limite d'une suite décroissante de compact

, si on pose

, la fonction de Lebesgue qu'on appelle aussi l' "escalier du diable" est la limite uniforme de la suite

. On l'appelle ainsi car elle est continue croissante vérifie f(0)=0, f(1)=1 dérivable presque partout et pourtant f ' (t)=0 p.p.

par **Joker62** » 28 Mai 2008, 19:35

Ah vui l'escalier du Diable je connais par contre :D
Par contre pour l'intervalle que j'ai donné plus haut, c'était pas -Pi/4 mais Pi/4 :^)
Et donc l'image de l'intervalle par f n'est pas ouvert :( j'me trompe ?

par **tize** » 28 Mai 2008, 19:53

Joker62 a écrit:Ah vui l'escalier du Diable je connais par contre
Par contre pour l'intervalle que j'ai donné plus haut, c'était pas -Pi/4 mais Pi/4 :^)
Et donc l'image de l'intervalle par f n'est pas ouvert j'me trompe ?

Non, c'est bon :++:

par **ffpower** » 29 Mai 2008, 11:16

equation de Cauchy c est f(x+y)=f(x)+f(y)?car y en a qui sont pas surjectives(genre a valeur dans Q)

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